Implementation of a two-particle Monte Carlo method for the treatment of electron-electron-scattering in semiconductors

Abstract

In dieser Diplomarbeit wird ein Monte Carlo (MC) Simulator in Python implementiert, der speziell zur Untersuchung von Elektron-Elektron-Streuung (EES) konzipiert worden ist. Es ist eine Herausforderung EES zu simulieren, da immer zwei Elektronen gleichzeitig von der Streuung betroffen sind. Die zeitliche Entwicklung der Orts-und Impulsverteilung der Elektronen in einem Halbleiter wird mittels der Boltzmann-Transportgleichung (BTE) beschrieben. Durch die Berücksichtigung von EES in der Gleichung wird die BTE nichtlinear. Daher wird anstelle der BTE die kinetische Zwei-Teilchen-Gleichung verwendet. Diese ist linear in der Zweiteilchen-Verteilungsfunktion. Es gab bereits Versuche, die nichtlineare BTE zu lösen, indem nur ein Teilchen simuliert und die Impulsverteilung des Partnerelektrons angenommen wurde. Im Gegensatz dazu wird in dieser Arbeit die Flugbahn beider beteiligten Elektronen abgetastet, und es müssen keine Annahmen über die Verteilungsfunktion getroffen werden. Die Herleitung der Phononenstreuraten und EES-Raten basiert auf der Quantenmechanik. Ausgangspunkt dafür ist die goldenen Regel von Fermi. Die einzelnen Teilschritte des Algorithmus, wie die Wahl der Abtastpunkte oder die Wahl des Streumechanismus werden dargelegt. Auch die Erweiterungen vom Einteilchen-MC-Algorithmus zum Zweiteilchen-MC-Algorithmus, die nötig sind um EES zu simulieren, werden erklärt. Anschließend wird der Algorithmus verwendet, um stationäre und transiente Simulationen in Bulk-Silizium durchzuführen. Die Ergebnisse der stationären Simulationen zeigen die Geschwindigkeits- und Energieverteilungen sowie die mittlere Geschwindigkeit und Energie als Funktion des elektrischen Feldes. In den Ergebnissen der stationären Simulationen ist kein Einfluss durch EES zu erkennen. Im transienten Fall wurden Sprungantwortfunktionen und Relaxationsvorgänge simuliert. Der Relaxationsprozess ist der einzige Simulationsfall, bei dem die Berücksichtigung von EES einen signifikanten Effekt zeigt. Durch EES relaxieren Elektronen, die von einem heißeren in ein kälteres Gebiet kommen, deutlich schneller.

In this thesis a Monte Carlo (MC) simulator is implemented in Python that focuses on electron-electron scattering (EES). Simulating the EES events is an exciting challenge because two electrons are affected simultaneously. In case of EES the Boltzmann transport equation (BTE), which is the mathematical model that describes the time evolution of the momentum and real space distribution of electrons in a semiconductor becomes non linear. Therefore the two-particle kinetic equation is used instead of the BTE. It is linear for the two-particle distribution function. Earlier attempts were made to solve the non-linear BTE where only one particle was simulated and the partner electron’s momentum distribution was assumed. Contrary to this approach in this thesis the trajectory of both involved electrons are sampled and no assumptions about the distribution function need to be made. The derivation of the phonon scattering rates and the EES rates used in the algorithm is shown. It is based on quantum mechanics and its entry point is Fermi’s golden rule. The MC algorithm with its adoptions for including EES is explained. Sampling and selection of scatter mechanisms is discussed. The algorithm is used to do stationary and transient simulations in bulk silicon. The stationary ones show the velocity and energy distributions as well as the mean velocity and energy as a function of the electric field. Regardless of whether EES is taken into account or not, stationary simulations bring identical results. In the transient case step response functions and relaxation processes are simulated. The relaxation process is the only simulation case where the consideration of EES shows an significant effect. Due to EES hot electrons entering a cold domain relax much faster.