Analyzing fuzzy and contextual approaches to vagueness by semantic games

Abstract

Wie können Computer natürlichsprachlichen Text verstehen? Oder, präziser gefragt, wie kann die Semantik der natürlichen Sprache mittels Logik modelliert werden, um formales Schließen zu ermöglichen? Dieses grundlegende Problem besitzt viele, teilweise ineinander verflochtene Facetten; eine davon ist die Existenz von Vagheit in allen natürlichen Sprachen. Ursprünglich von Frege als "Defekt" der Alltagssprache verworfen und außerhalb der Zuständigkeit von Logik positioniert, gibt es heutzutage eine Vielzahl von Modellierungsansätzen innerhalb der Logik, der analytischen Philosophie und der Linguistik. Im Rahmen dieser Arbeit wollen wir erörtern (i) wie bestimmte Modelle von Vagheit mittels spieltheoretischer Semantik motiviert werden können und (ii), wie solche verschiedene Ansätze zueinander in Beziehung gesetzt werden können. Fuzzy-Logik wird manchmal als die "Logik der Vagheit" bezeichnet. Es gibt mehrere Möglichkeiten der Fuzzy-Logik eine geeignete Semantik zuzuordnen; insbesondere Giles Auswertungsspiel für Lukasiewicz Logik liefert eine spieltheoretische Semantik für diese sogenannte t-Norm basierte Fuzzy-Logik. Jedoch wurde noch keiner dieser Ansätze auf (semi-)fuzzy Quantifizierung erweitert. Durch die Einführung einer zufälligen Auswahl von Konstanten lassen sich bestimmte proportionale, semi-fuzzy Quantoren mittels erweiterter Giles-Spiele charakterisieren. Außerdem präsentieren wir eine spielbasierte Charakterisierung von Stewart Shapiros kontextbasiertem Modell der Vagheit in der Tradition von Giles Spiel. Hierzu ist es erforderlich, einen dritten Spieler, genannt "Nature", einzuführen. Wir nehmen Chris Barkers Modell "The dynamics of vagueness" als Vertreter für einen skalen-(oder grad-)basierten linguistischen Ansatz zur Vagheit. Zuerst demonstrieren wir, wie t-Norm basierte Fuzzy-Logiken durch Anwendung einer geeigneten Maßfunktion auf Barkers Kontexte hervortreten. Obwohl sich die Größen der Kontexte in einer nicht wahrheitsfunktionalen Art und Weise verhalten, treten als Grenzfälle t-Normen und co-t-Normen auf. Weiters greifen wir nocheinmal den kontextuellen Ansatz des Philosophen Stewart Shapiro auf. Sowohl Barker als auch Shapiro beschreiben detailliert, wie sich der Kontext während einer Konversation weiterentwickelt, wenn auch mittels verschiedener Arten von Formalismen. Wir prüfen, was für Situationen in beiden dieser Ansätze mit den gleichen Annahmen modelliert werden können und präzisieren, was es für zwei Modelle bedeutet, "die gleichen Annahmen zu treffen". Wir beobachten, wie sich der Kontext in beiden Modellen bei einer Reihe von vagen Aussagen ändert und, wie sich herausstellt, lassen sich aus den resultierenden Kontexten beider Modelle jeweils genau dieselben logischen Schlüsse ziehen.

How can natural language be "understood" by computers? Or, more specifically, how can the semantics of a natural language statement be modeled by means of logic in order to facilitate formal reasoning? This perennial problem has many, partly intertwined facets; one of them being the pervasiveness of vagueness in all natural languages. Originally discarded by Frege as a "defect" of ordinary language outside the scope of logic, vagueness nowadays has given rise to a multitude of approaches within logics, analytic philosophy, and linguistics. In this thesis we aim to shed some new light on (i) how to justify certain models of vagueness by means of game-theoretic semantics and (ii) how such different approaches to vagueness can be related to each other. Fuzzy logic is sometimes refered to as the "logic of vagueness". There are several ways to attach a suitable semantics to fuzzy logics; particularly Giles's semantic game for Lukasiewicz logic provides a game-theoretic semantics for this so-called t-norm based fuzzy logic. However none of these approaches has yet been extended to (semi-)fuzzy quantification. By introducing the notion of random witness selection we show how certain proportional semi-fuzzy quantifiers can be characterized within an extension of Giles's game. We also provide a game-based characterization of Stewart Shapiro's contextual account of vagueness in the tradition of Giles's game by introducing a third player called Nature. We pick out Chris Barker's account of `The Dynamics of Vagueness" as a representative for a scale-(or degree-)based linguistic approaches to vagueness. First, we show how t-norm based fuzzy logics can be recovered from Barker-s account by measuring contexts. Although context sizes change in a non truth-functional manner, t-norms and co-t-norms emerge as limit cases. We also investigate the delineation-based approach by the philosopher Stewart Shapiro. Both Barker's and Shapiro's approaches describe how context changes and evolves during a conversation, albeit by different means. We examine which kind of situations can be modeled in either of these approaches making the same assumptions and precisify what exactly it means for two models "to make the same assumptions". We observe how context updates proceed in both models for a series of vague statements. As it turns out, the resulting models using both approaches give rise to exactly the same first-order inferences under certain conditions.