Adaptive BEM und FEM-BEM-Kopplung für die Lamé-Gleichung

Abstract

Wir beschäftigen uns mit der Analysis und der numerischen Lösung einiger Randwertprobleme für die Lamé-Gleichung aus der linearen Elastitzitätstheorie. Die partiellen Differentialgleichungen werden zu Integralgleichungen auf dem Rand umformuliert, um dann numerisch mit BEM (boundary element method, Randelementmethode) und der Kopplung von BEM und FEM (finite element method) in Angriff genommen zu werden. Ein besonderer Fokus unserer Arbeit liegt auf Adaptivität: Wir benutzen Fehlerindikatoren um lokale Information darüber zu erhalten, wo das zu Grunde liegende Rand-Gitter verfeinert werden soll um die Genauigkeit der diskreten approximativen Lösung zu verbessern. Wir definieren und analysieren verschiedene Fehlerindikatoren für die BEM und die FEM-BEM-Kopplung. Ein wichtiges Werkzeug für unsere Analysis liefert die Theorie der Interpolationsräume, siehe [BL76]. Wir tragen zu dieser Theorie bei, indem wir die Interpolation von Seminormen untersuchen. Wir beweisen wir die Äquivalenz der interpolierten Seminorm und der üblichen Slobodeckij-Seminorm auf Sobolev-Räumen gebrochener Ordnung H s(X), s\in(0,1). Wir untersuchen, wie sich die involvierten Äquivalenzkonstanten bei Lipschitz-Transformation des Gebietes X verhalten, und verallgemeinern im Zuge dessen Resultate der erst kürzlich erschienenen Arbeit [Heu14]. Dies benutzen wir, um die gleichmäßige Äquivalenz der beiden Seminormen auf Knoten-Patches einer triangulierten Oberfläche zu zeigen. Als Anwendung unserer Erkenntnisse in der Theorie der Interpolationsräume geben wir einen neuen Beweis der Lokalisierung der H s(Gamma) -Norm aus [CMS01], ein fundamentales Resultat, welches beispielsweise benutzt wird, um die Zuverlässigkeit des gewichteten Residualschätzers für BEM zu beweisen. Wir präsentieren numerische Experimente in 2D für sowohl BEM als auch FEM-BEM-Kopplung, um unsere theoretischen Ergebnisse zu bestätigen und deren Anwendbarkeit zu illustrieren. Eine detaillierte Diskussion einiger Fragestellungen bei der Implementierung, wie etwa der numerisch stabilen Berechnung der diskreten Randintegraloperatoren, ist ebenfalls inkludiert.

We are concerned with the analysis and numerical solution of some boundary value problems for the Lamé equation from linear elasticity. These partial differential equations are reformulated as boundary integral equations and are then treated numerically by use of BEM (boundary element method) and the coupling of BEM with FEM (finite element method). A special focus in our work lies on adaptivity: We use error indicators to get local information on where to refine the underlying boundary mesh and thereby increase the accuracy of the discrete approximate solution. We introduce and analyze various error indicators for adaptive BEM and FEM-BEM-coupling. An important tool in our analysis is the theory of interpolation spaces, see [BL76]. We contribute to this theory by considering interpolation of semi-norms instead of norms. We prove equivalence of the interpolation semi-norm and the usual Slobodeckij semi-norm on fractional-order Sobolev spaces H s(X), s\in(0,1), and study how the involved equivalence constants behave under Lipschitz transformations of the domain X, thereby generalizing results from the recent paper [Heu14]. Next, we use this to prove uniform equivalence of the two kinds of semi-norms on node patches of a triangulated surface. As an application of our findings in interpolation space theory, we give a new proof of the localisation of the H s(Gamma)-norm from [CMS01], a result fundamental in establishing, for example, reliability of a weighted-residual error estimator for BEM. Numerical experiments in 2D for BEM as well as FEM-BEM-coupling are presented to confirm our theoretical findings and illustrate their applicability. A detailed discussion of implementational issues such as numerically stable computation of the discrete boundary integral operators is included as well.