Nichtparametrische Volatilitätsschätzer unter Market Microstructure Noise

Abstract

Die Bedeutung der Volatilität nimmt in der Finanzwirtschaft immer mehr zu. Bei der Bepreisung von Optionen im Black-Scholes-Modell ist die Volatilität der einzige nicht messbare Parameter. Daher muss man sich mit Volatilitätsschätzern begnügen. Zu gegebenen Hochfrequenz-Börsendaten ist der naheliegendste Schätzer - die Quadratsumme der Differenz der Trade Prices - die Realized Variance. Das Problem dabei ist, dass dieser Schätzer unter Market Microstructure Noise divergiert. Dies ist ein Effekt, der durch Unstimmigkeiten wie Bid-Ask Bounces oder Messfehler verursacht wird. Dieses Problem kann behoben werden, indem die Samplingfrequenz reduziert wird, wobei dabei teilweise bis zu 99 Prozent der Daten verworfen werden müssen. Da dies nicht optimal ist, wurden eine Vielzahl an Erweiterungen und neue Ansätze für Volatilitätsschätzer entwickelt. Einerseits wird durch Einbeziehung der Autokovarianzen höherer Ordnung und anderseits mittels Kernel-, Fouriermethode oder durch Linearkombinationen über mehrere Skalen versucht, konsistente Schätzer für die Volatilität zu erhalten. Die Frage nach dem in der Praxis am besten geeigneten Volatilitätsschätzer ist nicht einfach zu beantworten. Jeder einzelne Schätzer hat seine Vor- und Nachteile. Konvergenzrate, Rechenaufwand und asymptotisches Verhalten müssen gegeneinander abgewogen werden. Besonders wichtig dabei sind die richtige Implementierung und die bestmögliche Wahl der optimalen Freiheitsparameter. Es bedarf auf jeden Fall einer genauen Analyse der Daten und einer großen Menge an Know-how, um vernünftige Schätzwerte für die Volatilität zu erhalten.

In finance the importance of volatility is increasing. When pricing options in the Black-Scholes-Model, volatility is the only parameter that is not measurable. Therefore we need volatility estimators. The obvious estimator for a given time series of high-frequency financial data is the Realized Variance, the sum of squared returns between trades. Unfortunately this estimator leads to divergence in the presence of Market Microstructure Noise, an effect which appears in cause of frictions like bid-ask Bounces or measurement errors. This problem can be solved by reducing the sampling frequency. If sampling sparsely at the optimal frequency, one is throwing away a large amount of data, in particular up to 99 per cent. Due to the fact that sampling sparsely is not optimal, there was need for new classes of volatility estimators. First, estimators that include autocovariances higher order have been developed. Second, methods like the Fourier method, the class of Kernel estimators, and a linear combination over multiple scales emerged. The question concerning the most appropriate volatility estimator is not an easy one. Every estimator itself has his advantages and disadvantages. Convergence rate, computational effort and asymptotic behaviour have to be balanced out. The correct implementation and the right choice of the parameters of freedom is extremely important. It requires a good data analysis and a big amount of know-how to obtain reasonable estimated values for volatility.