Long Interest Rates in der Finanz- und Versicherungsmathematik

Abstract

Vor allem im Versicherungssektor kommt es oft vor, dass man Diskontierungsfaktoren für langfristig veranlagte Finanzinstrumente benötigt. Ein gutes Beispiel dafür sind Leibrenten. Mit einem empirischen Ansatz kommt man in diesem Fall nicht weit, da kaum mit Bonds gehandelt wird, die eine längere Laufzeit als 20 Jahre besitzen und man für Leibrenten Dis- kontierungsfaktoren für an die 80 bis 100 Jahre bräuchte. Wir benötigen dazu Modelle die verwendet werden können, um die beobachtbare Zinsstruktur zu extrapolieren und die eine entsprechende Beschreibung der Entwicklung der Zinsen mit längeren Laufzeiten liefert. Die asymptotische Longrate ist also für die Wahl des richtigen Zinsstrukturmodelles wichtig, wenn es sich um Long-Term Verträge oder auch die Bewertung von Versicherungs- oder Rentenver- trägen handelt. Aus diesem Grund setzt sich diese Arbeit mit dem Problem der Bewertung von langfristigen Verträgen, der damit benötigten Longrate, Aussagen über Longrates und der Deutung und Anpassung verschiedener Zinsstrukturmodelle an längere Laufzeiten auseinander.<br />Diese Arbeit beginnt mit einem Kapitel über die Grundlagen der Zinstheorie in dem unter anderem der Bondmarkt und der risikoneutrale Ansatz zur Bewertung von Finanzmarktinstrumenten erklärt werden. Des weiteren werden die in der Arbeit benötigten Definitionen gegeben.<br />Das nächste Kapitel beschäftigt sich mit dem wichtigen und oft zitierten Dybvig-Ingersoll-Ross Theorem, welches besagt dass in einem vollkommenen und arbitragefreien Markt dieLongrate ein wachsender Prozess ist.<br />In den darauf folgenden Kapitel gehe ich näher auf die unterschiedlichen Zinsstrukturmodelleein und leite zunächst einzelne Aussagen über die Longrate her um diese anschließend auf die konkreten Modelle anzuwenden.<br />Darüber hinaus wird auf die Adaption der Ergebnisse bezüglich der Verwendung des Sprungdiffusionsprozessen eingegangen. Wichtige Resultate des Verhaltens der Longrates l(t) werde ich in dieser Arbeit zusammenfassen, analysieren, anwenden und größtenteils auch beweisen.<br />Zu diesen Ergebnissen gehören:<br />* In vollkommenen Märkten fällt weder die Long Zero Coupon noch die Long Forward Rate (Theorem 2.3.1) * Die Long Zero Coupon Rate und die Long Forward Rate sind für endlich viele Zustände gleich ihrem zukünftigen Minimum (Theorem 2.3.3 bzw.<br />2.3.4) * l(t) ist endlich oder unendlich. Endlichkeit kann mit der Abschätzung aus dem Abschnitt 3.2.1 gezeigt werden.<br />* l(t) ist wachsend. (Abschnitt 3.2.3) * l(t) ist eine deterministische Funktion der Zeit (Abschnitt 3.2.4) * l(t) ist eine deterministische Konstante (Abschnitt 3.2.7)

In insurance markets very often it happens that you need discount factors for long term contracts. An example would be life insurance and annuities. The problem is that empirical data can not be supplied, since in the real market there are almost no contracts, as for example bonds, with such long maturities. We will need models that we can use to extrapolate the given term structure and which give a description of the development of the interest rates. As we can see, the long rate is very important to choose the right interest rate model. We will deal with the problem of evaluating long term contracts, state findings about the long rate and finally interpret and adapt interest rate models concerning their long rate.<br />The thesis starts with a chapter about the fundamental theory of interest rate. We define the bond market and the risk neutral evaluation of assets. The basic interest rate definitions will be given. The next chapter deals with the known Dybvig-Ingersoll-Ross theorem, which states that in a perfect market the long rate is a non-decreasing process. The following chapters describe different interest rate models and state some results about the long rate in concrete models. Additionally the results will be adapted to the use of a jump diffusion process.<br />