Fuzzy probability distributions

Abstract

Messwerte kontinuierlicher physikalischer Größen sind a priori unscharf und können mittels des Konzepts der unscharfen Zahlen und unscharfen Vektoren modelliert werden.<br />Im Sinne einer quantitativen Verarbeitung solcher Daten ist es insbesondere notwendig, das klassische Konzept relativer Häufigkeiten für reelle Stichproben auf sogenannte unscharfe relative Häufigkeiten für unscharfe Stichproben zu erweitern. Die unscharfe relative Häufigkeit einer Menge ist selbst eine unscharfe Zahl.<br />Ausgehend von der Interpretation von Wahrscheinlichkeiten als Grenzwerte relativer Häufigkeiten ist es daher unumgänglich, auch sogenannte unscharfe Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu betrachten, für die die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses selbst eine unscharfe Zahl ist.<br />Nach einer grundlegenden Abhandlung über die wichtigsten algebraischen und topologischen Eigenschaften der Familie der unscharfen Zahlen und der Familie der d-dimensionalen unscharfen Vektoren ist daher der Großteil der vorliegende Arbeit der Untersuchung zweier unterschiedlicher natürlicher Zugänge zu unscharfen Wahrscheinlichkeitsverteilungen gewidmet: Jenem über sogenannte unscharfe Wahrscheinlichkeitsdichten und einem speziellen Integrationsprozess ähnlich dem Aumann-Integral einerseits, und jenem über die Verteilung unscharfer Zufallsvektoren andererseits.<br />Es wird dabei insbesondere versucht, den hohen Grad an Gemeinsamkeit der durch die beiden Zugänge induzierten unscharfen Wahrscheinlichkeitsverteilungen herauszustreichen.<br />Darüberhinaus wird ein Starkes Gesetz der Großen Zahlen für unscharfe relative Häufigkeiten und unscharfe Wahrscheinlichkeitsverteilungen induziert von unscharfen Zufallsvektoren bezüglich verschiedener Metriken bewiesen und, in Verallgemeinerung reellwertiger stochastischer Prozesse, sogenannte unscharfe stochastische Prozesse definiert, und grundlegende Eigenschaften untersucht.

The unavoidable imprecision of measurements of continuous physical quantities can be modelled by using the concept of fuzzy numbers and fuzzy vectors.<br />Concerning a quantitative usage of such data it is necessary to extend the classical concept of relative frequencies for real data to so-called fuzzy relative frequencies for fuzzy data. Thereby the fuzzy relative frequency of a set, given a fuzzy sample, is a fuzzy number. Regarding probabilities as limits of relative frequencies it is consequently mandatory to consider so-called fuzzy probability distributions, for which the 'probability' of an event is a fuzzy number.<br />The present dissertation therefore starts with a chapter about basic algebraic and topological properties of the family of all fuzzy numbers and the family of all d-dimensional fuzzy vectors and then mainly concentrates on two different natural approaches to fuzzy probability distributions: The approach based on so-called fuzzy probability densities and a certain integration process similar to the Aumann-Integral on the one hand, and the approach based on the distribution of a d-dimensional fuzzy random vector on the other hand.