General gelfond problems for numeration systems

Abstract

Im Jahre 1968 zeigte Gelfond erstmals Gleichverteilungsresultate der Ziffernsumme in allgemeinen arithmetischen Progressionen und stellte weiters drei Fragen. Die erste handelt von der gemeinsamen Verteilung der Ziffernsummen bezüglich verschiedener Basen und wurde 1999 von Kim gelöst. Die zweite und dritte Frage beschäftigen sich mit der Ziffernsumme von Primzahlen und polynomialen Teilfolgen. Mauduit und Rivat lösten vor kurzem diese Probleme für Prim- und Quadratzahlen.<br />Die Dissertation beschäftigt sich mit allgemeinen Gelfondschen Ziffernproblemen und verwandten Fragestellungen. Der erste Teil befasst sich mit der Lösung der Entsprechung des Gelfondschen Problems für Primzahlen in den Gaußschen Zahlen, wobei ein Resultat von Drmota, Rivat und Stoll erweitert wird. Ferner werden spezielle Følner-Folgen in den Gaußschen Zahlen eingeführt und Eigenschaften der Ziffernsumme von Quadraten gezeigt. Des Weiteren werden verallgemeinerte Thue-Morse-Folgen in kompakten Gruppen behandelt. Insbesondere wird gezeigt, dass quadratische Teilfolgen solcher Folgen gleichverteilt bezüglich eines Maßes sind, dessen Radon-Nikodym-Dichte mithilfe darstellungstheoretischer Methoden beschrieben werden kann. Als Anwendung werden Häufigkeiten von Buchstaben in Teilfolgen von invertierbaren automatischen Folgen betrachtet. Um das Studium von allgemeinen automatischen Folgen zu ermöglichen, werden matrizenwertige q-multiplikative Funktionen definiert und untersucht. Ferner wird ein Gleichverteilungsresultat für die Ziffernsumme der Folge [n c] für nicht ganzzahlige reele Zahlen c gezeigt, wobei beim Beweis bekannte Exponentialsummenabschätzungen und kürzlich entwickelte Methoden der Fourier-Analyse vereint werden.<br />Schließlich wird eine von Bassily und Kátai ausgearbeitete und von Drmota, Mauduit und Rivat weiterentwickelte Methode verallgemeinert, um lokale Verteilungsresultate auf gewisse Exponentialsummenabschätzungen zurückzuführen. Als Anwendung dieser Methode wird gezeigt, dass die Ziffernsumme von Quadraten in den Gaußschen Zahlen und die Ziffernsumme der Folge [n c] in den natürlichen Zahlen einem solchen lokalen Verteilungsresultat genügen.<br />

In 1968, Gelfond proved that the sum-of-digits function is uniformly distributed in arithmetic progressions. This led him to pose three questions:<br />The first asks for the joint distribution of the sum-of-digits function for different bases and was answered completely by Kim in 1999. The second and third question deal with the sum-of-digits function of primes and polynomial subsequences. Mauduit and Rivat recently solved these problems for prime numbers and squares.<br />This thesis deals with general Gelfond problems and related questions.<br />The first part of this work contains the solution of the corresponding problem of Gelfond for primes in the ring of Gaussian integers. In particular, it includes an extension of a result of Drmota, Rivat, and Stoll. Furthermore, we introduce certain Følner-sequences in the Gaussian integers and show distribution results for the sum-of-digits function of squares. Next, we treat generalized Thue-Morse sequences in compact groups. We show that quadratic subsequences of such sequences are uniformly distributed with respect to a special measure and we determine its Radon-Nikodym derivative with respect to the Haar measure with the help of representation theory. As an application, we consider the frequency of letters in subsequences of invertible automatic sequences. In order to obtain results for subsequences of general automatic sequences, we introduce and analyze matrix-valued q-multiplicative functions.<br />Furthermore, we show that the sum-of-digits function of the sequence [n c] for non-integral real numbers c is uniformly distributed by combining well-known exponential sum estimates and recently developed methods in harmonic analysis. Finally, we generalize a method that was developed by Bassily and Kátai and refined by Drmota, Mauduit, and Rivat in order to trace the study of local distribution results back to certain exponential sum estimates. As an application of this method, we show that the sum-of-digits function of squares in the Gaussian integers and the sum-of-digits function of the sequence [n c] for non-integral c in the natural numbers obey a local distribution result.