Standard and auxiliary-based algebraic multigrid methods for elliptic PDEs

Abstract

In der folgenden Arbeit werden verschiedene Algebraische Multigrid Methoden (AMG) zur Lösung von elliptischen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung untersucht. Zu Beginn wird eine kurze, allgemeine Einführung in Multigrid Methoden gegeben, welche dann zu einem algebraischen Ansatz erweitert werden. Es wird eine Matlab-Umgebung zur Lösung dreier verschiedener physikalischer Felder entwickelt, um anschließend die vielversprechendsten Ansätze im institutseigenen Finite-Elemente Code CFS++ zu implementieren und mit anderen iterativen Gleichungslösern, anhand verschiedener Gleichungen mit unterschiedlichen Kern des linearen Operators, zu vergleichen. Mit den implementierten Lösern können elektrostatische, mechanische und elektromagnetische Probleme gelöst werden. Der Funktionenraum für die ersten beiden Felder umfasst lineare Lagrange-Ansatzfunktionen, wohingegen das letztere mit Kantenelementen diskretisiert wird.

In the following thesis, different algebraic multigrid methods (AMG) for the solution of elliptic second order PDEs are investigated. A short introduction into multigrid methods in general is given and extended to the algebraic approach. A matlab-framework is implemented to test different algorithms and applied to various physical fields, using AMG as a standalone-solver. The most promising methods were implemented in the in-house finite element code CFS++, tested and compared to other types of iterative solvers, for three types of equations with different kernels of the underlying linear operator. The associated physical fields for the three types of equations are electrostatic, 3D-mechanic and electromagnetic. The latter one, discretized using edge-elements, the first two using nodal Lagrangian ansatz-functions.