Selected topics in numerics of stochastic differential equations

Abstract

Die Vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einer Reihe von Fragen der Numerik stochastischer Differentialgleichungen bzw. mit numerischen Verfahren, welche auf stochastische Methoden beruhen. In allen behandelten Problemen werden geometrische Überlegungen und Verfahren ausgiebig verwendet.<br />Nach einer Einleitung befasst sich Kapitel 2 mit der Geometrie der iterierten Integrale der Brown'schen Bewegung. Als Anwendung dieser Theorie wird das Kubaturverfahren am Wiener Raum von Terry Lyons und Nicolas Victoir präsentiert. Ferner stellen wir eine explizite Formel zur Berechnung der Momente der iterierten Integrale vor. In Kapitel 3 wird das Kubaturverfahren am Wienerraum für stochastische partielle Differentialgleichungen verallgemeinert, also für stochastische Differentialgleichungen auf unendlich dimensionalen Räumen.<br />In Kapitel 4 stellen wir zwei neue Verfahren zur schwachen Approximation reflektierter Diffusionen, also Lösungen stochastischer Differentialgleichungen, die am Rand eines Gebietes reflektiert werden.<br />Reflektierte Diffusionen sind von großer praktischer Bedeutung, weil sie die stochastische Repräsentation der Neumann Randwertprobleme der zugehörigen Wärmeleitungsgleichung ermöglichen. Der erste Algorithmus basiert auf die Hinzunahme eines Korrekturterms zum üblichen Euler-Maruyama Ansatz, während der zweite Algorithmus Adaptivität verwendet. Die Schlußfolgerungen werden durch numerische Beispiele untermauert.<br />Im letzten Kapitel wird die Implementierung eines neuen Ansatzes des "Simuliertes Annealing"-Verfahrens vorgestellt. Das besondere dieses Ansatzes von Baudoin, Hairer und Teichmann liegt darin das hypo-elliptische, nicht notwendigerweise elliptische Prozesse verwendet werden können. Die besonderen numerischen Aspekte werden diskutiert und numerische Beispiele präsentiert.<br />

The present thesis is concerned with several Problems related to numerics of stochastic differential equations and to general numerical tasks, for which stochastic approaches can be used. In all these problems are analyzed withe their respective geometry in mind, and, moreover, geometric methods are used throughout the thesis.<br />After a short introduction, Chapter 2 of the thesis starts with a discussion of the geometry of the iterated integrals of the Brownian motion. As an application of this theory, we present the method of cubature on Wiener space by Terry Lyons and Nicolas Victoir for weak approximation of stochastic differential equations. In the remainder of the chapter, an explicit formula for the moments of the iterated integrals and a algorithm for the computation of the moments of the corresponding Levy areas are presented. In Chapter 3, the cubature on Wiener space method is generalized to stochastic partial differential equations, i. e. to stochastic differential equations on an infinite dimensional space. In Chapter 4, we present two new algorithms for weak approximation of reflected diffusions. These are of special importance in the applications, because they allow for the stochastic representation of Neumann boundary value problems for the corresponding parabolic partial differential equations. The first algorithm is based on the addition of a correction term found by careful analysis of the error expansion of the well-known Euler-Maruyama scheme for reflected diffusions. The second algorithm is an adaptive one, using a local error density, again derived from the error expansion of the Euler scheme. These two schemes yield better orders of convergence than the Euler scheme, and are applicable in more general situations than the previous higher order schemes. These conclusions are backed up by numerical examples.<br />In the last chapter, an implementation of a new simulated annealing method for global optimization of non-convex functions is presented. The new method was recently proposed by Baudoin, Hairer and Teichmann and consists of a horizontal gradient flow, which is perturbed by a hypo-elliptic process, and works on general homogenous spaces of nilpotent Lie groups. The method is tested in two numerical examples and its special numerical aspects are discussed.