Title: Gelfond's sum of digits problems
Language: English
Authors: Morgenbesser, Johannes
Qualification level: Diploma
Keywords: Ziffernsumme; Verteilung in arithmetischen Folgen; Ziffernsummenfunktion von Primzahlen; Ziffersummenfunktion von Quadratzahlen; Gelfond
Sum of digits; Distribution in arithmetic progressions; Sum of digits function of primes; Sum of digits function of squares; Gelfond
Advisor: Drmota, Michael 
Issue Date: 2008
Number of Pages: 94
Qualification level: Diploma
Diese Diplomarbeit handelt von den Gelfondschen Ziffernsummenproblemen, welche er 1968 in einer seiner Arbeiten veröffentlicht hat. Er zeigte, dass die Folge (s_q(n)), n =1,2,..., wobei s_q(n) die Ziffersumme von n zur Basis q bezeichnet, gut verteilt ist in arithmetischen Progressionen. Am Ende seiner Arbeit stellte er dann die Frage, ob dieses und verwandte Resultate auch für Teilfolgen gelten.
Obwohl Bésineau bereits 1972 ein asymptotisches Resultat gezeigt hat, dauerte es über 30 Jahre (1999) bis Dong-Hyun Kim Gelfonds erstes Problem gelöst hat. Ich überarbeite Kims Beweis für die Ziffernsummenfunktion und erhalte dadurch ein besseres Resultat.
Gelfonds zweites Problem behandelt die Ziffernsummen von Primzahlen. Bis zuletzt war es nicht klar, ob die Folge (s_q(p)) p prim, unendlich viele Folgenglieder in speziellen Restklassen hat. Mauduit und Rivat zeigten jedoch, dass diese Folge gut verteilt in arithmetischen Progressionen ist. Ich vereinfache deren Beweis mittels Methoden, die Drmota, Mauduit, Rivat und Stoll in anderen Arbeiten verwendet haben. Das dritte Gelfondsche Problem ist noch nicht vollständig bewiesen. Jedoch haben Mauduit und Rivat gezeigt, dass die Folge (s_q(n 2)), n=1,2... gut verteilt in arithmetischen Progressionen ist. Ich vereinfache etwas den Beweis dieses Resultats.

The main goal of this diploma thesis is the treatment of Gelfond's sum of digits problems as formulated in one of his papers in 1968. Gelfond showed that the sequence (s_q(n)), n =1,2,..., where s_q(n) denotes the sum of digits of n in base q, is well distributed in arithmetic progressions. At the end of the paper, however, he raises the question as to whether this and related statements are still true for special subsequences of (s_q(n)), n =1,2,....
Though Bésineau provided an asymptotic result of Gelfond's first problem concerning the joint distribution of the sum of digits function in 1972, it still took more than thirty years (1999) until Dong-Hyun Kim completely solved it. I refine Kim's proof for the sum of digits function, which allows me to sharpen his result. Gelfond's second problem regards the sequence (s_q(p)), p prime. Until recently it was not even known whether there are infinitely many members of this sequence in special arithmetic progressions. Through the achievements of Mauduit and Rivat we now know that the sequence is actually well distributed in arithmetic progressions. This result and the developed proof method is of particular interest. I simplify Mauduit's and Rivat's proof by adapting some ideas Drmota, Mauduit, Rivat and Stoll used in other papers. The third and last problem is not entirely proved yet, but here again Mauduit and Rivat showed that the sequence (s_q(n 2)), n=1,2... is well distributed in arithmetic progressions. I provide a simpler proof of this result.
URI: https://resolver.obvsg.at/urn:nbn:at:at-ubtuw:1-25504
Library ID: AC05037427
Organisation: E104 - Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie 
Publication Type: Thesis
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