On duality relations for Asian options

Abstract

The purpose of this thesis is to comprehensively state the theory on duality relations for option prices in a binomial model with dividend yield with a focus on Asian options with respect to the arithmetic mean. In general, duality relations state that the calculation of prices of specific options for the original model is equivalent to the calculation of prices for specific other options under a dual model. In the special case of a binomial model with dividend yield the corresponding dual model is again a binomial model with dividend yield with respect to other parameters. In the first part of this thesis we discuss the model and give examples, where as we treat the theory on duality relations for vanilla options, forward start options, lookback options and Asian options of European type and vanilla options of American type in the second part. As the duality relations for Asian options break down when passing over to the American case, finally, we characterize a set of stopping times which satisfy a specific time reversal property and try to extend the relations for Asian options with respect to the arithmetic mean to stopping times.

Das Ziel dieser Arbeit ist es die Theorie über Dualitätsrelationen für Optionspreise ineinem Binomialmodell mit Dividendenzahlungen mit einem Fokus auf asiatische Optionen bezüglich des arithmetischen Mittels verständlich und umfassend zu präsentieren. Im Allgemeinen sind Dualitätsrelationen Aussagen darüber, dass der Preis einer Option im ursprünglichen Modell dem Preis einer bestimmten, anderen Option im dualen Modellent spricht. Im Spezialfall eines Binomialmodells mit Dividendenzahlungen handelt es sich beim dualen Modell wiederum um ein Binomialmodell mit Dividendenzahlungen bezüglich anderer Parameter. Im ersten Teil der Arbeit diskutieren wir das Modell und betrachten einige Beispiele, wohingegen wir im zweiten Teil die Theorie über Dualitätsrelationen für europäische Vanilla-Optionen, Forward-start-Optionen, Lookback-Optionen und asiatische Optionen und amerikanische Vanilla-Optionen behandeln. Da die Dualitätsrelationenbezüglich europäischer, asiatischer Optionen nicht auf ihre amerikanischen Gegenstücke erweitert werden können, versuchen wir im letzten Teil dieser Arbeit eine Menge von Stoppzeiten, welche eine spezielle Zeitumkehr-Eigenschaft aufweisen, zu charakterisieren und die Relationen für asiatische Optionen bezüglich des arithmetischen Mittels für Stoppzeiten zuerweitern.