Title: Rationale Parametrisierungen von Kugelhüllflächen
Language: Deutsch
Authors: Gruber, David
Qualification level: Diploma
Keywords: Parametrisierung; Kugelgeometrie; Zyklographie; Liniengeometrie; Faserung; Kanalfläche; Hüllfläche; rational; Minkowski-Geometrie; Geradenkongruenz
parametrization; sphere geometry; line geometry; fibration; canalsurface; envelope; rational; Minkowski-geometry; line congruence
Advisor: Odehnal, Boris 
Issue Date: 2008
Number of Pages: 62
Qualification level: Diploma
Abstract: 
Rational parametrisierbare Flächen sind vor allem für die Implementierung in CAD-Systemen von großem Wert, denn diese Flächen können als rationale Bezier-Flächen geschrieben werden. Kugelhüllflächen sind im allgemeinen nicht rational parametrisierbar und werden daher oft approximiert. Im Folgenden werden besonders die rational parametrisierbaren Kugelhüllflächen betrachtet, sowie Konstruktionen der Parametrisierungen angegeben.
Im ersten Kapitel sind die notwendigen Grundlagen zur Liniengeometrie und Zyklographie zusammengefasst. Das zweite Kapitel beinhaltet die Theorie zur Berechnung von rationalen Parametrisierungen von ein-parametrigen Kugelfamilien. M. Peternell und H. Pottmann haben bewiesen, dass jede Einhüllende einer solchen Menge von Kugeln eine rationale Parametrisierung besitzt, wenn die Mittenkurve und die Radiusfunktion rational sind. Weiters wird das Verfahren zur Gradreduktion von R. Krasauskas erläutert.
Im dritten Kapitel sind die Ergebnisse von M. Peternell und B. Odehnal eingearbeitet. Es zeigt sich, dass die Parametrisierung der Einhüllenden einer zwei-parametrigen Kugelfamilie unter bestimmten Vorraussetzungen rational sein kann. Sie betrachten das zyklographische Urbild der Kugelfamilie. Sind die Ferngeraden der Tangentialebenen dieser Fläche eine Faserung des Fernraums, so liefert die zyklographische Abbildung eine rationale Parametrisierung der Hüllfläche. In dieser Arbeit lag das Hauptaugenmerk auf speziellen Faserungen, den Geradenetzen. Zu den verschiedenen Netztypen werden Parametrisierungen der Hüllflächen berechnet.

Rational parametrizations are important for the implementation in CAD systems, since they can be converted to tensor product Bezier representations. Since the envelopes of spheres do in general not allow rational parametrizations and are thus often aproximated. In the following we pay our attention especially to rational parametrizations of the envelopes of spheres. Further we give constructions for rational parametrizations.
The first chapter is devoted to fundamentals of line and sphere geometry. The second chapter contains the theory and methods for the computation of envelopes of one-parameter families of spheres. M.
Peternell and H. Pottmann have shown, that each such family admits a rational parametrization provided that the spine curve and the radius function are rational. Furthermore the constructions given by R.
Krasauskas are also discribed.
The third chapter summarizes the results by M. Peternell and B. Odehnal.
It turns out that the envelope of a two-parameter family of spheres is in fact rational under certain constraints. Studying the projective closure of the cyclographic preimage they show that if the ideal lines of the normal planes comprise a fibration of the ideal space then the cyclographic image admits a rational parametrization.
URI: https://resolver.obvsg.at/urn:nbn:at:at-ubtuw:1-25618
http://hdl.handle.net/20.500.12708/11130
Library ID: AC05039011
Organisation: E104 - Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie 
Publication Type: Thesis
Hochschulschrift
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