Superreplication and arbitrage in multiasset models under proportional transaction costs

Abstract

Wir entwickeln ein Modell für den Handel in mehrdimensionalen Märkten mit proportionalen Transaktionskosten in stetiger Zeit. Der zugrundeliegende Preisprozess muss dabei nur càdlàg, aber kein Semimartingal sein, was beispielsweise die fraktionelle Brownsche Bewegung zulässt. Die zentrale Rolle, die Martingalmaße in der Theorie der Märkte ohne Transaktionskosten spielen, wird dabei von sogenannten Consistent Price Systems übernommen. Wir beweisen grundlegende Eigenschaften des Modells und vergleichen es mit anderen, in den letzten Jahren vorgeschlagenen Modellen. Wir beweisen eine mehrdimensionale Version des sogenanten Face-lifting Theorem, welches den Superreplikationspreis einer pfadunabhängigen Option mit der Gestalt ihrer Payoff-Funktion verbindet. Vorangegangene Resultate können dabei wesentlich verallgemeinert werden.<br />Des weiteren wird eine mehrdimensionale Version des Fundamental Theorem of Asset Pricing für stetige Prozesse bewiesen, die notwendige und hinreichende Bedingungen dafür angibt, wann ein Preisprozess für alle Transaktionskostenlevels arbitragefrei ist. Beide Sätze werden im Spezialfall eindimensionaler exponentieller Lévy-Prozesse näher beleuchtet. Hierbei kann eine vollständige Charakterisierung erreicht werden, welche Prozesse welche Consistent Price Systems zulassen. Das Fundamental Theorem of Asset Pricing wird in diesem Fall noch weiter präzisiert. Im Anschluss wird das Transaktionskostenmodell verallgemeinert, um verschiedene Kostenlevels für verschiedene Assets, einseitige Transaktionskosten und direkten Tausch von Assets zuzulassen. Auch für das verallgemeinerte Kostenmodell wird das Fundamental Theorem of Asset Pricing bewiesen.<br />Ein separates Ergebnis über Esscher-Transformationen, welches für die Konstruktion der Consistent Price Systems benötigt wird, aber auch von unabhängigem Nutzen sein kann, wird im Anhang bewiesen.<br />

We present a Model for trading in multiasset markets in continuous time under proportional transaction costs. The underlying price process is assumed to be càdlàg, but does not need to be a semimartingale, thus for instance fractional Brownian motion is eligible. The central role that martingale measures play in the theory of markets without transaction costs is hereby inherited by so-called consistent price systems.<br />We prove fundamental properties of our model and compare it to alternative models proposed recently. We arrive at a multidimensional version of the so-called face-lifting theorem, which links superreplication prices of path independent options to the shape of their payoff function. This considerably generalizes precedent results in the literature.<br />Furthermore, a multidimensional version of the Fundamental Theorem of Asset Pricing for continuous processes is proven. This delivers necessary and sufficient conditions for a process to be arbitrage free for all transaction cost levels. Both theorems are revisited in greater detail in the special case of one-dimensional exponential Lévy processes. Here a complete characterization, which processes admit which consistent price systems, can be achieved. Also the Fundamental Theorem of Asset Pricing can be proven with greater precision.<br />Finally, the transaction costs model is generalized to allow for different cost levels for different assets, one-sided transaction costs and direct exchange between assets. The Fundamental Theorem of Asset Pricing is extended to this generalized approach.<br />A separate result on the Esscher transform is proven in the Appendix. It is crucial for our construction of consistent price systems, but may also be of independent interest.