Extended BRST formulation of a non-commutative U*(1) gauge model

Abstract

Bislang können drei der vier fundamentalen Wechselwirkungen erfolgreich durch quantisierte Eichtheorien beschrieben werden. Das sind die elektromagnetische, die schwache und die starke Wechselwirkung, alle enthalten im Standardmodell mit einer SU(3) x SU(2) x U(1) Eichsymmetrie. Erstere kann als abelsche U(1) Eichtheorie formuliert werden (QED), die letzteren zwei sind nicht-abelsche Yang-Mills Modelle.<br />Wie auch immer, die vierte fundamentale Wechselwirkung, die Gravitation, die in der allgemeinen Relativitätstheorie als Krümmung der Raumzeit behandelt wird, wird vom Standardmodell nicht umfasst. Man ist davon überzeugt, dass auch die Raumzeit quantisiert sein muss, zumindest auf Distanzen in der Nähe der Planck-Länge. Damit lässt sich das Einführen von nichtkommutativen Koordinaten unter Zuhilfenahme des sogenannten Groenewold-Moyal-Sternprodukts rechtfertigen. Auch wenn renormierbare Skalarmodelle auf nichtkommutativer Raumzeit gefunden werden konnten, ist bis heute kein solches Eichmodell bekannt. In dieser Diplomarbeit wird ein vielversprechendes, nichtkommutatives U*(1) Eichmodell behandelt. Die Eichsymmetrie ist nun nicht-abelsch.<br />Anschließend an die Modifizierung des U*(1) Eichmodells durch das Hinzufügen eines Gegenterms aufgrund einer auftauchenden IR-Divergenz auf Ein-Schleifen-Niveau, wird das Modell BRST-exakt (Becchi-Rouet-Stora-Tyutin) formuliert, und zwar durch die Einführung von BRST-Doublets. Weiters werden zwei Identitäten abgeleitet, die unter anderem die Transversalität des Zweipunkt-Vertexgraphen ausdrücken.<br />Außerdem werden für eine allfällige algebraische Renormierung relevante Überlegungen angestellt. Abschließend folgt die Präsentation eines äquivalenten, lokalisierten Modells, dem ebenso eine erweiterte BRST-Symmetrie zugrundeliegt.<br />

Up to now, three of the four fundamental interactions could have been successfully described as quantized gauge theories: the electromagnetism, the weak interaction and the strong interaction, all contained in the standard model with a SU(3) x SU(2) x U(1) gauge symmetry. Whereas the further can be formulated as an Abelian U(1) gauge theory (QED), the latter two are non-Abelian Yang-Mills type models.<br />However, the fourth fundamental force, the gravity, which is treated in general relativity as curvature of the space-time, is not covered by the standard model. There is a strong belief that the space-time has to be quantized as well, at least at the scale of the Planck length. This justifies the introduction of non-commutative coordinates via the so-called Groenewold-Moyal star product. Even though some renormalizable scalar models on non-commutative space-time could have been found, no such gauge theory is yet known. In this thesis we discuss a promising candidate for a non-commutative U*(1) gauge model. The gauge symmetry is now a non-Abelian one. After modifying this U*(1) gauge model with a counter term for an arising IR-divergence at one-loop level, a BRST (Becchi-Rouet-Stora-Tyutin) exact formulation via the introduction of BRST doublets is given. Then, two identities are derived, expressing for example the transversality of the two-point vertex graph. Further, relevant considerations and calculations are made with regard to a possible algebraic renormalization procedure. Finally, an equivalent localized model is presented that is formulated BRST exact as well.<br />