Pflasterungen in der hyperbolischen Ebene

Abstract

Während in der euklidischen Ebene nur eine sehr begrenzte Anzahl regulärer Pflasterungen existiert, gibt es in der hyperbolischen Ebene unendlich viele.Thema der vorliegenden Arbeit sind genau diese hyperbolischen ebenen Pflasterungen.<br />Am Anfang der Arbeit steht, nach einem historischen Abriss zur nichteuklidischen Geometrie, eine Einführung in die ebene hyperbolische Geometrie. Ausgehend von der hyperbolischen Geometrie als Cayley-Klein Geometrie werden fünf Modelle der hyperbolischen Ebene erläutert. Im Speziellen wird auf das Cayley-Klein Modell und das Poincaré Modell und ihre Besonderheiten eingegangen.<br />Neben einer Zusammenfassung der Theorie diskreter Transformationsgruppen wird im Weiteren eine Anleitung zur Erstellung hyperbolischer Pflasterungen in Form eines Algorithmus gegeben. Zusätzlich zu regulären Pflasterungen werden Pflasterungen mit rechtwinkligen Dreiecken und quasireguläre Pflasterungen untersucht.<br />Den Abschluss bilden die Analyse einiger Arbeiten des niederländischen Künstlers M.C. Escher im Hinblick auf die davor erläuterte Theorie und eine Aufzählung praktischer Anwendungen hyperbolischer Pflasterungen in unterschliedlichen Bereichen der Wissenschaft. Diese Anwendungen dienen, wenn man so will, als Motivation für die Beschäftigung mit hyperbolischen Pflasterungen.<br />

While the number of regular tesselations is limited in the Euclidean plane the hyperbolic plane gives room to infinitely many.<br />These hyperbolic tesselations are the subject of the following diploma thesis.<br />We start with an historic overview of the evolution of Noneuclidean geometry. Based on the theory of Cayley-Klein geometries five models of the hyperbolic plane are presented. Special attention is payed to the models of Cayley-Klein and Poincaré.<br />Besides a summary of the theory of discrete transformationgroups a way to generate hyperbolic tesselations is shown. In addition to tesselations with regular n-gons tesselations with right-angled triangles and quasiregular tesselations are described.<br />Finally the work of the dutch artist M.C. Escher is analyzed with regard to the theory metioned before and practical applications of hyperbolic tesselations in different fields of sciences are listed. These examples motivate the work with hyperbolic tesselations.