Title: On the renormalisability of the Sine-Gordon and Thirring models
Language: English
Authors: Bozkaya, Hidir 
Qualification level: Doctoral
Keywords: Sine-Gordon Modell; Solitonen; Thirring Modell; Renormierung; Quantisierung
Sine-Gordon Model; Solitons; Thirring Model; Renormalisation; Quantisation
Advisor: Faber, Manfried
Assisting Advisor: Ivanov, Andrey
Issue Date: 2006
Number of Pages: 107
Qualification level: Doctoral
Abstract: 
Die Dissertation befasst sich mit der Renormierung des Sine-Gordon (SG) Modells in 1+1 Dimensionen und des masselosen Thirring Modells.
Wir untersuchen die Renormierbarkeit des SG Modells anhand von Zweipunktgreenfunktionen störungstheoretisch. Im trivialen Sektor zeigen wir die Renormierbarkeit des SG Modells bis zur zweiten Ordnung in der dimensionsbehafteten Kopplungskonstante $\alpha$ und in alle Ordnungen der Kopplungskonstante $\beta$. In Anlehnung an die Autoren wie Dashen et al. und Faddeev et al. betrachten wir die Renormierung des SG Modells semiklassisch indem wir Quantenfluktuationen um die Solitonlösung (nicht-trivialer Sektor) nur bis zur Gaußordnung in den Fluktuationen in die Diskussion einbeziehen. Es zeigt sich, dass diese Quantenfluktuationen keinen endlichen Beitrag zur Solitonmasse generieren. Damit haben wir die Vermutung von Zamalodchikov et al.
bestätigt, dass ein endlicher Term, welcher bei Autoren wie Dashen et al. und Faddeev et al. auftritt, nur von der Regularisierungs- und Renormierungsprozedur abhängt. Beide Sektoren sind für die Kopplung $\beta<<1$ in obiger Näherung äquivalent renormierbar. Auch wird die Gültigkeit der Gaußnäherung untersucht. Es zeigt sich, dass die Gaußnäherung in den Fluktuationen nur für Werte von $\beta\sim0$ gerechtfertigt ist. Die Callan-Symanzik Gleichung für die kausale Zweipunktgreenfunktion wird aufgestellt und gelöst. Wir zeigen hierbei in allen Ordnungen der Störungstheorie in den Kopplungskonstanten $\alpha$ und $\beta$, dass die kausale Zweipunktgreenfunktion nur von der renormierten Kopplungskonstante $\alpha_r$ und $\beta$ abhängt.
Die Renormierung des massiven SG Modells um das triviale Vakuum wird bis zur zweiten Ordnung der Störungstheorie in der Kopplung betrachtet. Es zeigt sich, dass der Operator $m 2\vt(x)$_ keine Divergenzen generiert und dass das massive SG Model äquivalent zum masselosen Model renormierbar ist. Die nichtstörungstheoretische Renormierung des massiven SG Models wird diskutiert. Die Callan-Symanzik Gleichung für die kausale Zweipunktgreenfunktion im massiven SG Modell wird aufgstellt und gelöst.
Zum Schluss verallgemeinern wir die Diskussion der Renormierbarkeit des SG Modells nichtstörungstheoretisch auf Quantenfluktuationen um beliebige nichttriviale (solitonische) Lösungen der Bewegungsgleichung des SG Modells. Wie für den Fall des trivialen Vakuums nichtstörungstheoretisch in anderen Arbeiten bereits gezeigt, können die divergenten Schleifenbeiträge $-i\Delta(0;\mu)$ im generierenden Funktional für Greenfunktionen durch eine Redefinition der Kopplungskonstante $\alpha_0(\Lambda 2)$ als $\alpha_0(\Lambda 2)=Z_1\alpha_r(M 2)$ aufgehoben werden. $\Lambda 2$ ist eine Ultraviolettgrenze und $M 2$ ein Renormierungspunkt. Es zeigt sich jedoch im Gegensatz zum trivialen Vakuum, dass das generierenden Funktional für Greenfuntionen für Fluktuationen um Solitonlösungen immer noch von $\alpha_0(\Lambda 2)$ abhängt. Das könnte darauf hindeuten, dass das SG Model für Quantenfluktuationen um nichttriviale Lösungen nicht renormierbar ist.
Die Renormierbarkeit des masselosen Thirring Modells führen wir anhand der fermionischen Zweipunktgreenfunktion und Zweipunktkorrelationsfunktion in allen Ordnungen der Störungstheorie in der Thirring Kopplungskonstante $g$ durch. Es zeigt sich, dass die dynamischen Dimensionen der Thirring Fermionfelder, aus den Greenfunktionen und Korrelationsfelder durch zwei beliebige Parameter parametrisiert werden können, anstatt einem, wie in der Arbeit vom Klaiber aus dem Jahr 1960. Durch eine entsprechende Wahl eines der Parameter haben beide Zweipunktfunktionen die äquivalente dynamische Dimension mit einem freien Parameter. Das gleiche dynamische Verhalten der fermionischen Thirringfelder erlaubt uns dann die beiden kausalen Zweipunktfunktionen durch Renormierung divergenzenfrei zu wählen.

This thesis is devoted to the analysis of the renormalisability of the 1+1 dimensional sine--Gordon (SG) and the massless Thirring models.
The analysis of the renormalisation of the SG model is carried out for the example of the causal two--point Green function with respect to quantum fluctuations of the SG field relative to the trivial vacuum and to the soliton solution.
The contributions of quantum fluctuations of the SG field relative to the trivial vacuum are calculated to first and second order in the dimensional coupling constant $\alpha$ and to all orders in the dimensionless coupling constant $\beta$. The analysis of contributions of the Gaussian fluctuations around the soliton solution, describing a non-trivial solution (nontrivial vacuum) in the SG model, has shown that the renormalisation of the SG model due to quantum fluctuations around a soliton solution runs for small $\beta<<1$ parallel to the renormalisation of the SG model relative to quantum fluctuations with respect to the trivial vacuum. No finite term appear to the soliton mass due to Gaussian quantum fluctuations. This confirms the assertion of Zamalodchikov et al. on the dependence of a finite correction to the soliton mass, obtained by Dashen et al. and Faddeev et al., on the regularization and renormalisation procedure. We found the validity of Gaussian fluctuations for $\beta\sim 0$ only. Hence regions of $\beta\sim 8\pi$ cannot be reached by Gaussian fluctuations. We consider the massive SG model non-perturbativly. We show that the operator $m 2\vt(x) 2$ is a soft one.
The Callan Symanzik equation for the causal two-point Green function of SG quanta and of the massive SG quanta are solved. We prove for the vacuum sector of SG model to all orders of perturbation theory with respect to dimensional and dimensionless coupling constants that the causal two-point Green function depends on the renormalised coupling constant $\alpha_r$ only.
We conclude our discussion on the SG model by considering non--perturbatively the renormalisability of the SG model with respect to quantum fluctuations around nontrivial solutions. We show after the absorption of the divergent loop contributions of the form $-i\Delta(0;\mu)$ by a redefinition of the bare coupling $\alpha_0($\Lambda 2)$ as $\alpha_0($\Lambda 2)=Z_1\alpha_r(M 2)$, that the generating functional for Greenfunctions is still depending on the bare coupling constant $\alpha_0($\Lambda 2)$. $\Lambda 2$ is an ultraviolett cut--off und $M 2$ a renormalistion scale. It seems, in opposition to above that the sine--Gordon model could be possibly non--renormalisable with respect to quantum fluctuations around nontrivial (solitonic) solutions. It seems more discussion is needed on this topic.
The renormalisability of the massless Thirring model is investigated to all orders of perturbation theory in the Thirring coupling constant $g$ by the example of the two--point causal Green function of Thirring fermion fields and the two--point correlation function of left--right fermion densities. It is shown that the dynamical dimensions of the Thirring fermion fields, calculated from two--point causal Green function and two-point correlation function of left--right fermion densities, can be parameterised by two arbitrary parameters instead of one arbitrary parameter that was pointed out by Klaiber in 1960's.
The dependence of dynamical dimensions on an additional arbitrary parameter admits the non--perturbative renormalisability of the massless Thirring model in the sense of the removal of all divergences of correlation functions, calculated to all order of the coupling constant $g$, by means of the renormalisation of the wave functions of the Thirring fermion fields. It is shown that that such a removal is possible if the dynamical dimensions of the Thirring fermion fields, calculated for different correlation functions, are equal. Having equated the dynamical dimensions obtained from different correlation functions, one arrives at a solution of the massless Thirring model, where all correlation functions of the massless Thirring model are independent of the ultra-violet cut-off and parameterised by one arbitrary parameter.
URI: https://resolver.obvsg.at/urn:nbn:at:at-ubtuw:1-18031
http://hdl.handle.net/20.500.12708/12086
Library ID: AC05033424
Organisation: E141 - Atominstitut der Österreichischen Universitäten 
Publication Type: Thesis
Hochschulschrift
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