Dialogue games for fuzzy logics

Abstract

Formale Dialogspiele werden schon seit langem dazu verwendet, die Semantik verschiedener Logiken zu charakterisieren. In den 70er Jahren präsentierte Robin Giles seinen Versuch, eine operationale Grundlage für formales Schließen zu definieren, basierend auf atomaren Experimenten, welche Dispersion aufweisen können. Diese Masterarbeit motiviert und beschreibt seinen Ansatz und die Verbindung zu t-Norm-basierten Fuzzy-Logiken.<br />Wir geben eine kurze Einführung in t-Normen und mehrwertige Fuzzy-Logiken, die auf diese Bezug nehmen. Im Speziellen liegt der Schwerpunkt auf drei solchen fundamentalen Fuzzy-Logiken:<br />Lukasiewicz-Logik, Gödel-Logik und Produkt-Logik. Verschiedene Möglichkeiten, die Spielregeln von Giles' Spiel zu ändern, um dieses adäquat für Gödel- und Produkt-Logik zu machen, werden präsentiert und diskutiert. Darüber hinaus beschreiben wir die starke Verbindung zwischen Gewinnstrategien im Spiel und Ableitungen in einem analytischen Kalkül, der auf relationalen Hypersequenten basiert.<br />Eine andere Art von Dialogspielen sind sogenannte "Truth Comparison Games". Diese sind besonders geeignet für Gödel-Logik, da sie der gradbasierten Semantik der Gödel-Logik mehr entsprechen als Giles' Spiel. Wir präsentieren das Spiel und diskutieren Gewinnstrategien für beide Spieler, welche als Beweis für die Gültigkeit oder Widerlegbarkeit einer Formel gesehen werden können.<br />Zusätzlich werden mehrere Hilfsprogramme vorgestellt, die im Kontext dieser Masterarbeit entwickelt wurden. Darunter befindet sich auch eine webbasierte Anwendung zur interaktiven Exploration von Giles' Spiel und dessen Erweiterungen.<br />

Formal dialogue games are a traditional approach to characterize the semantics of logics. In the 1970s Robin Giles attempted to provide an operational foundation for formal reasoning in physical theories by dialogue games based on atomic experiments that may show dispersion.<br />This thesis motivates, describes and analyzes his approach and the connection to t-norm based fuzzy logics.<br />We give a short introduction into t-norms and many-valued logics based on t-norms. In particular we focus on three fundamental t-norm based fuzzy logics: Lukasiewicz Logic, Gödel Logic, and Product Logic. We present and discuss several approaches for extending the game rules of Giles's Game in order to make it adequate for Gödel Logic and Product Logic. Moreover, we give hints at a strong correspondence between winning strategies in the game and derivations in an analytic proof system based on relational hypersequents.<br />Another type of dialogue games are truth comparison games. This type is suitable for Gödel Logic and relates more to the degree based semantics of that logic than Giles's Game. We present the game and discuss winning strategies for both players indicating the validity or refutability of a formula.<br />Additionally, several utilities implemented in the context of this thesis are presented. Amongst these is a web-based application which allows for the interactive exploration of Giles's Game and its extensions.