Modellierung der Steifigkeit und der Stabilität von Wellpappe

Abstract

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Beschreibung des mechanischen Verhaltens von Wellpappe, im Besonderen mit der effektiven Steifigkeit und den beulkritischen Belastungen. Darüber hinaus wird im Sinne des Leichtbaus ein Methode entwickelt, um Wellpappe im Hinblick auf möglichst geringes Flächengewicht zu optimieren. Die zu erfüllenden Nebenbedingungen stellen im Zuge der Optimierung Mindestwerte für die kritische Last bezüglich lokalen Stabilitätsverlusts bei Druckbelastung in Richtung CD und für die Biegesteifigkeit bei Biegung um MD sicher. Dabei wird die Richtung in der Membranebene normal zu den Wellenerzeugenden mit MD und die Richtung parallel zu den Wellenerzeugenden mit CD bezeichnet. Die Optimierung erfolgt über einen semi-analytischen und einen rein numerischen Zugang. Der semi-analytische Zugang folgt dem Gedanken der „primitiven“ Optimierung, womit angenommen wird, dass im Optimum mehrere Versagensarten gleichzeitig erreicht werden. Außerdem werden Deckschichten und Welle getrennt betrachtet. Die beulkritischen Spannungen werden dabei über modifizierte Gleichungen des elastischen Beulens isotroper Platten bestimmt. Im Gegensatz dazu wird beim numerischen Zugang die Last, die zur lokalen Instabilität führt, über Anfangsstabilitätsanalysen mit dem FE-Solver ABAQUS berechnet. Dabei kommen Einheitszellen-Modelle zum Einsatz, an deren Rändern periodische Randbedingungen angeschrieben werden müssen. Mit den Einheitszellen-Modellen wird außerdem die effektive Steifigkeit von Wellpappe ermittelt. Bei der numerischen Optimierung wird der orthotrope Charakter von Papier berücksichtigt, materielles Versagen wird ausgeschlossen. Das Ziel der Optimierung wird erreicht, das Flächengewicht kann im Vergleich zu einer handelsüblichen Wellpappe um mehr als 15 Prozent reduziert werden, wobei die kritische Drucklast und die Biegesteifigkeit unverändert bleiben. Die druckbelastete, optimierte Struktur zeigt simultanes Beulen der Deckschichten und der Welle. Um eine Beziehung zwischen den über Anfangsstabilitätsanalysen berechneten beulkritischen Belastungen im Sinne der Meso-Instabilitäten (d.h. lokales Beulen) und der maximalen Tragfähigkeit der Wellpappe im Sinne einer Makro-Stabilitätsgrenze (d.h. globaler Stabilitätsverlust) herzustellen, werden nichtlineare Untersuchungen mit einem Modell eines Plattenstreifens durchgeführt. Die Belastung der Platte erfolgt dabei durch eine Druckkraft in Richtung CD, die Randbedingungen der Platte werden als periodische Randbedingungen in Richtung MD und als eingespannte, frei drehbare Plattenenden bei den Begrenzungen in Richtung CD definiert. Über geometrisch nichtlineare, statische und dynamische Simulationen werden Last-Verschiebungskurven berechnet und der Übergang vom lokalen zum globalen elastischen Beulen analysiert. Durch die Konzentration des wellenförmigen Beulmusters auf eine in der Mitte der Platte liegende Halbwelle (Lokalisierung) ergibt sich das beobachtete Snapback-Verhalten. Die nichtlinearen Untersuchungen zeigen, dass bei optimierten Strukturen nach dem Erreichen der aus der entsprechenden Anfangsstabilitätsanalyse erhaltenen kritischen Last die Belastung bis zum Versagen nicht in dem Maße gesteigert werden kann, wie das bei den nicht optimierten Strukturen und bei gleichen absoluten Amplituden der geometrischen Imperfektion der Fall ist.

The presented thesis deals with the characterisation of the mechanical behaviour of corrugated board with an emphasis on the homogenized stiffness and the buckling behaviour. Furthermore, a technique for the optimisation of corrugated board with respect to the weight per unit of plate area is developed. The optimisation constraints ensure buckling stability in terms of enforcing lower limits for the critical membrane-load in the direction CD concerning local instabilities and for a necessary bending stiffness about the MD axis in the course of the optimization procedure. Thereby, the in-plane direction, which is perpendicular to the generatrix of the flute, is called MD (Machine-Direction), the direction parallel to the generatrix is called CD (Cross-Direction) in the context of corrugated board. The optimisation is carried out by semi-analytical and numerical approaches. The semi-analytical procedure utilises the idea of “primitive” optimization; this approach implies that several collapse modes are reached simultaneously. Furthermore, the liners and the flute are analysed separately with respect to their buckling behaviour. The buckling loads are calculated using equations of the elastic buckling of isotropic plates, which are applied directly to the liners and in a modified version to the flute. The semi-analytical approach uses linear eigenvalue buckling predictions available in the FE code ABAQUS to determine the critical membrane load. To this end, unit cell models with periodic boundary conditions are created. In addition, the unit cell models allow for a prediction of the homogenised stiffness of corrugated board. In the numerical approach the orthotropic behaviour of paper is taken into account, whereas material failure is neglected. The optimisation is successful; the weight per unit of plate area is reduced considerably (more than 15 percent) compared to a specific type of commercial corrugated board while the buckling load and the bending stiffness are preserved. For the optimal configuration, which was found with the numerical approach, the liners and the flute buckle simultaneously when loaded under compression in the CD direction. This can be seen as an a posteriori verification of the assumptions made in the semi-analytical optimisation scheme. Geometrically non-linear simulations are performed for gaining a relationship between the critical buckling load with respect to meso-instabilities (i.e., local buckling) calculated by an eigenvalue buckling prediction and the limit load related to macro-instabilities (i.e., global buckling). In these dynamic and static simulations a finite plate is used, which is constrained between rigid, freely rotating end plates and subjected to a compressive membrane force in the CD direction. The boundary conditions in the MD direction are assumed to be periodic. Load-displacement curves are predicted and the transition from local buckling to global buckling is observed. Due to the localisation of the wavelike buckling mode in a single, central fold, the so-called snap-back phenomenon occurs. The non-linear simulations indicate that the reserve against failure after reaching the buckling membrane-load as calculated by a linear buckling analysis is smaller for the optimized structure as compared to the initial design, provided that the same magnitude for the geometrical imperfections is used. This imperfection sensitivity has to be taken into account in the design of corrugated board for practical use.