Superstrings in general backgrounds

Abstract

In the present thesis, some aspects of superstrings in general backgrounds are studied. The thesis divides into three parts. The first is devoted to a careful study of very convenient superspace conventions which are a basic tool for the second part. We will formulate a theorem that gives a clear statement about when the signs of a superspace calculation can be omitted. The second part describes the type II superstring using Berkovits' pure spinor formalism. Being effectively an embedding into superspace, target space supersymmetry is manifest in the formulation and coupling to general backgrounds (including Ramond-Ramond fields) is treatable. We will present a detailed derivation of the supergravity constraints as it was given already by Berkovits and Howe some years ago. The derivation will at several points differ from the original one and will use new techniques like a covariant variation principle. In addition, we will stay throughout in the Lagrangian formalism in contrast to Berkovits and Howe. Also the order in which we obtain the constraints and at some points the logic will differ. As a new result we present the explicit form of the BRST transformation of the worldsheet fields, which was before given only for the heterotic case. Having obtained all the constraints, we go one step further and derive the form of local supersymmetry transformations of the fermionic fields. This provides a contact point of the Berkovits string in general background to those supergravity calculations which derive generalized Calabi Yau conditions from effective four-dimensional supersymmetry. The mathematical background for this setting is the so-called generalized complex geometry (GCG) which is in turn the motivation for the last part.<br />The third and last part is based on the author's recent paper on derived brackets from sigma models which was motivated by the study of GCG. It is shown in there, how derived brackets naturally arise in sigma-models via Poisson- or antibrackets, generalizing an observation by Alekseev and Strobl. On the way to a precise formulation of this relation, an explicit coordinate expression for the derived bracket is obtained. The generalized Nijenhuis tensor of generalized complex geometry is shown to coincide up to a de-Rham closed term with the derived bracket of the structure with itself and a new coordinate expression for this tensor is presented. The insight is applied to two-dimensional sigma models in a background with generalized complex structure. The appendix contains introductions to geometric brackets and to aspects of generalized complex geometry. It further contains detailed reviews on aspects of Noether's theorem, on the Bianchi identities (including Dragon's theorem), on supergauge transformations and the WZ gauge and on important relations for Gamma -matrices (especially in ten dimensions).<br />A further appendix is devoted to the determination of the (super)connection starting from different torsion- or invariance constraints.<br />

In der vorliegenden Arbeit werden einige Aspekte des Superstrings im allgemeinen Hintergrund betrachtet. Die Arbeit unterteilt sich in drei Teile: Der erste studiert die Vorraussetzungen, unter denen man bosonische Strukturgleichungen in graduierte (z.B. im Superraum) übertragen kann und formuliert diese in einem Satz. Auf diesen Betrachtungen basierend werden Konventionen verwendet, die graduierungsabhängige Vorzeichen absorbieren und die als Grundlage der Rechnungen des zweiten Teils dienen.<br />Der zweite Teil beschreibt den Typ II Superstring mithilfe von Berkovits' "pure spinor" Formalismus. Die darin u.a. enthaltene Einbettung in einen Target-Superraum ermöglicht im Gegensatz zum üblichen Ramond-Neveu-Schwarz Formalismus eine direkte Kopplung des Strings an Ramond-Ramod-Felder. Er eignet sich damit gut für ein Studium des Superstrings in allgemeinen Hintergründen. In der Arbeit wird der Formalismus für eine sorgfältige Rekapitulierung der "Supergravity Constraints"-Herleitung aus der klassischen BRST-Invarianz verwendet.<br />Diese wurde vor einigen Jahren von Berkovits und Howe beschrieben. Die Herleitung in der vorliegenden Arbeit wird sich jedoch in einigen Punkten unterscheiden. So bleibt die Betrachtung im Unterschied zur ursprünglichen Rechnung vollständig im Lagrange Formalismus und zur besseren Strukturierung der Variationsrechung wird ein kovariantes Variationsprinzip eingesetzt. Hinzu kommt die Anwendung des im ersten Teil formulierten Satzes. Auch die Reihenfolge, in der die Constraints erzielt werden, weicht von Berkovits und Howe ab. Als neues Resultat werden die BRST Transformationen aller Weltflächen-Felder hergeleitet, die bisher nur für den heterotischen Fall bekannt waren. Ein entscheidender neuer Schritt ist schließlich die Herleitung der lokalen Supersymmetrie-Transformation der fermionischen Targetraum-Komponenten-Felder.<br />Dies liefert einen Anknüpfungspunkt zur sogenannten verallgemeinerten komplexen Geometrie (GCG), die Bestandteil des letzten Teiles der Arbeit ist. Die vierdimensionale effektive Supersymmetrie innerhalb einer zehndimensionalen Typ-II Supergravitation bedingt eine "verallgemeinerte Calabi Yau Mannigfaltigkeit" als Kompaktifizierungsraum, welche wiederum mit Methoden der GCG beschrieben werden kann. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass Poisson- oder Antiklammern in Sigmamodellen auf natürliche Weise sogenannte "derived brackets" im Targetraum induzieren, darunter auch die Courant Klammer der GCG. Weiters wird gezeigt, dass der verallgemeinerte Nijenhuis Tensor der GCG bis auf einen de-Rham geschlossenen Term mit der "derived bracket" der verallgemeinerten Struktur mit sich selbst übereinstimmt, und eine neuartige Koordinatenform dieses Tensors wird präsentiert. Der Nutzen der gewonnenen Erkenntnisse wird dann anhand von zwei Anwendungen zur Integrabilität verallgemeinerter komplexer Strukturen demonstriert.<br />Der Anhang der Arbeit enthält eine Einführung in einige Aspekte von GCG und "derived brackets". Desweiteren werden u.a. das Noether Theorem, Bianchi Identitäten, WZ-Eichung und Gamma -Matrizen in zehn Dimensionen besprochen.