Coding sequences : combinatorial, geometric and topological aspects

Abstract

Die vorliegende Dissertation studiert Kodierungsfolgen im Kontext der Ergodentheorie, der Geometrie, der Zahlentheorie und der Topologie. Sei C eine kompakte monothetische Gruppe mit erzeugendem Element g in C, und sei M eine Teilmenge von C. Die Kodierungsfolge von M ist, per Definition, eine binäre zweiseitig-unendliche Folge, welche 1 an der n-ten Position ist, falls n g in M liegt, und 0 sonst.<br />Kodierungsfolgen stellen eine Brücke zwischen ergodischen Gruppenrotationen und der symbolischen Dynamik dar. Falls M eine Stetigkeitsmenge ist, d.h. ihr topologischer Rand hat Haarsches Maß 0, so heißt die Kodierungsfolge von M Hartmanfolge.<br />Ein Haupteil dieser Arbeit ist dem Studium der kombinatorischen Struktur von Hartmanfolgen gewidmet. Im Speziellen wird die Komplexitätsfunktion P(n,H) von Hartmanfolgen H analysiert. Diese zählt die verschiedenen Wörter von Länge n, welche in H zu finden sind. Allgemeine Schranken werden angegeben. Weiters wird eine Methode vorgestellt, welche asymptotische Formeln für die Komplexitätsfunktion in speziellen geometrischen Situationen liefert. Diese Methode ermöglicht es, eine Verbindung zwischen der Komplexität und der Theorie der Konvexgeometrie herzustellen.<br />Ein weiterer zentraler Teil dieser Dissertation beschäftigt sich mit der Charaterisierung von Untergruppen von lokalkompakten abelschen (LCA) Gruppen. Ein Resultat dieses Abschnittes besagt, dass zu jeder Untergruppe S einer metrisierbaren LCA Gruppe G eine Folge x_n von Charakteren in der zu G dualen Gruppe existiert, sodass x_n g dann und nur dann gegen 0 konvergiert, wenn g ein Element von S ist.<br />

This thesis focuses on the study of coding sequences in the context of ergodic theory, geometry, number theory and topology.<br />Let C be a compact monothetic group with generator g in C and let M be a subset of C. The coding sequence of M is, by definition, the binary biinfinite sequence which is 1 at the n-th position if ng in M and 0 otherwise. Coding sequences provide a connection between ergodic group rotations and symbolic dynamics. If M is a continuity set, i.e. if its topological boundary has Haar measure 0, the coding sequence of M is called Hartman sequence.<br />One central part of this work is devoted to the study of the combinatorial structure of Hartman sequences. In particular, the subword complexity P(n,H) of Hartman sequences H is analyzed. It counts the number of distinct words of length n occurring in H.<br />General bounds are discussed. Moreover a method is introduced which yields asymptotic formulas for the complexity function in special geometric situations. This method allows to deduce a connection between the subword complexity and the theory of convex geometry.<br />A second central part of this thesis deals with the characterization of subgroups of locally compact abelian (LCA) groups. One result of this part states that for every subgroup S of a metrizable LCA group G there exists a sequence x_n of characters in the dual group of G such that x_n g converges to 0 if and only if g is an element of S.<br />