Analyticity properties of the decomposition of the spectral density matrix in the context of dynamic PCA

Abstract

Diese Diplomarbeit behandelt ein Problem im Zusammenhang mit dynamischer Hauptkomponentenanalyse. Von der spektralen Dichtematrix eines mehrdimensionalen stationären stochastischen Prozesses ausgehend wird die Transferfunktion abgeleitet die das zugrundeliegende Optimierungsproblem der Hauptkomponentenanalyse löst. Dazu muss die von einem reelen Parameter analytisch abhängende spektrale Dichtematrix in Eigenwerte und Eigenvektoren zerlegt werden. Diese Arbeit beantwortet die Frage ob auch die Eigenwerte und -vektoren analytische (Matrix-)Funktionen im reelen Parameter sind und ob die Transferfunktion der dynamischen Hauptkomponentenanalyse bei stationärem Input stationären Output erzeugt positiv.<br />

This diploma thesis treats a problem in the context of dynamic principal component analysis. In order to solve the optimization problem of the PCA, a transfer function is deduced from the spectral density matrix of a multivariate stationary stochastic process. Thereby, the spectral density matrix which depends analytically on a real parameter has to be decomposed into eigenvalues and -vectors. In this diploma thesis, the questions as to whether the eigenvalues and -vectors depend as well analytically on the real parameter (even if there are multiple eigenvalues) and whether the transfer function creates stationary output for stationary input are answered positively.