Symmetries and asymptotically flat space

Abstract

Ein ausstehendes Problem in der theoretischen Physik ist die Konstruktion einer Theorieder Quantengravitation. Für die Lösung dieses Problems ist es nützlich, Naturgesetzezu verstehen, von denen erwartet wird, dass sie in Regimen gelten, die dem Experiment zur Zeit noch unzugänglich sind. Solche fundamentalen Gesetze können mitunterdurch Betrachtung des klassischen Pendants einer Quantentheorie gefunden werden.Beispielsweise stammen Erhaltungsgrößen in Quantentheorien oft von Erhaltungsgrößender entsprechenden klassischen Theorie. Mit dem Ziel derartige Gesetze zu konstruieren,behandelt diese Dissertation den Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen von klassischen Feldtheorien und betrachtet Anwendungen auf asymptotisch flacheRaumzeiten.Zu Beginn dieser Arbeit steht die Einführung von Symmetrien in Feldtheorien unter besonderer Berücksichtigung von Variationssymmetrien und deren dazugehörigen Erhaltungsgrößen. Randbedingungen der allgemeinen Relativitätstheorie auf dreidimensionalen, asymptotisch flachen Raumzeiten in lichtartiger Unendlichkeit werden mithilfevon konformer Vervollständigung der Raumzeit formuliert. Erhaltungsgrößen, die zuasymptotischen Symmetrien gehören, werden in manifest koordinatenunabhängiger Formkonstruiert und untersucht. In einem separaten Schritt wird ein Koordinatensystemeingeführt, welches den Vergleich mit bestehender Literatur ermöglicht. Als Nächsteswerden all jene asymptotisch flachen Raumzeiten betrachtet, die sowohl eine zukünftige,als auch eine vergangene, lichtartige Unendlichkeit beinhalten. Die an diesen beidenunzusammenhängenden Gebieten auftretenden asymptotischen Symmetrien werden imdreidimensionalen Fall miteinander verbunden und die entsprechenden Erhaltungsgrößen abgeglichen. Zuletzt wird gezeigt, wie asymptotische Symmetrien zum Auftretenvon verschiedenartigen Minkowski-Räumen führen, welche durch ihre Erhaltungsgrößendifferenziert werden können.

The construction of a theory of quantum gravity is an outstanding problem that canbenefit from better understanding the laws of nature that are expected to hold in regimescurrently inaccessible to experiment. Such fundamental laws can be found by consideringthe classical counterparts of a quantum theory. For example, conservation laws in aquantum theory often stem from conservation laws of the corresponding classical theory.In order to construct such laws, this thesis is concerned with the interplay betweensymmetries and conservation laws of classical field theories and their application toasymptotically flat spacetimes.This work begins with an explanation of symmetries in field theories with a focus onvariational symmetries and their associated conservation laws. Boundary conditions forgeneral relativity are then formulated on three-dimensional asymptotically flat spacetimesat null infinity using the method of conformal completion. Conserved quantities related toasymptotic symmetry transformations are derived and their properties are studied. Thisis done in a manifestly coordinate independent manner. In a separate step a coordinatesystem is introduced, such that the results can be compared to existing literature. Next,asymptotically flat spacetimes which contain both future as well as past null infinityare considered. Asymptotic symmetries occurring at these disjoint regions of three-dimensional asymptotically flat spacetimes are linked and the corresponding conservedquantities are matched. Finally, it is shown how asymptotic symmetries lead to thenotion of distinct Minkowski spaces that can be differentiated by conserved quantities.