Seifenhäute und Minimalflächen

Abstract

Die vorliegende Arbeit stellt einen Zusammenhang zwischen in Rahmen eingespannten Seifenhäuten und Minimalflächen her. Des Weiteren beleuchtet sie die Relevanz von Minimalflächen in der Architektur. Mit Hilfe der Oberflächenspannung, dem Prinzip der virtuellen Arbeit und den Plateauschen Regeln werden die grundsätzlichen Verhaltensweisen von Seifenhäuten erläutert und im Anschluss mit dem wichtigsten Kriterium für Minimalflächen - dem Verschwinden der mittleren Krümmung - in Einklang gebracht. Ausgehend von der Minimalflächengleichung, einer partiellen Differentialgleichung, werden dann einige Beispiele von Minimalflächen wie das Katenoid oder die Wendelfläche erarbeitet und deren mathematische Besonderheiten besprochen. Unter Zuhilfenahme der Funktionentheorie werden die Weierstraßschen Darstellungsformeln, das Plateausche und auch das Björlingsche Problem vorgestellt. Den Abschluss bildet ein Abriss über die Architektur mit Minimalflächen. Es wird auf die Besonderheiten in Konstruktion und Entwurf eingegangen und mit Beispielen, wie dem Münchner Olympiastadion, illustriert.

This thesis deals with the connection between soap films and minimal surfaces. It also takes a look at the relevance of minimal surfaces in architecture. The first chapter describes the characteristic behaviours of soap films using surface tension, the principal of virtual work and Plateaus rules. The Laplace-Young-equation connects soap films and minimal surfaces by proving their most important property - the mean curvature being zero. Using the (partial differential) minimal surface equation some examples of minimal surfaces (e. g. catenoid, helicoid) are presented and their most important mathematical characteristics are described. Taking into account complex analysis leads to the Weierstraß representations of minimal surfaces and to the problems of Plateau and Björling. The last chapter deals with the use of soap films and minimal surfaces in architecture. It describes peculiarities in design and construction and presents some examples, such as the Olympic Stadium in Munich.