Clones on infinite sets

Abstract

Let X be a set. A clone on X is a set of finitary operations on X which contains the projections and which is closed under function composition. When ordered by set-theoretical inclusion, the clones on X form a complete algebraic lattice, the clone lattice. We investigate the structure of this lattice: First we show that on linearly ordered X, the median functions of different arity all generate the same clone. We then give on all X of infinite regular cardinality an explicit list of the clones that contain all almost unary functions. Finally, we generalize existing results from the countable to find on all infinite X of regular cardinality the dual atoms of the clone lattice which contain all permutations but not all unary functions, and and on all infinite X the maximal submonoids of the full transformation monoid that contain the permutations.<br />

Sei X eine Menge. Ein Klon auf X ist eine Menge endlichstelliger Operationen auf X, die die Projektionen enthält und die unter Funktionskomposition abgeschlossen ist. Ordnet man die Klone auf X entsprechend der mengentheoretischen Inklusion, so erhält man einen vollständigen algebraischen Verband, den Klonverband. Wir erforschen die Struktur dieses Verbandes: Zunächst zeigen wir, daß die Medianfunktionen verschiedener Stelligkeit auf linear geordnetem X alle denselben Klon erzeugen. Dann präsentieren wir auf unendlichem X regulärer Kardinalität eine explizite Liste aller Klone, die die fast unären Funktionen enthalten. Schließlich verallgemeinern wir bestehende Resultate vom Abzählbaren und finden auf allen unendlichen X regulärer Kardinalität die Dualatome des Klonverbandes, die die Permutationen aber nicht alle unären Funktionen enthalten, sowie auf allen unendlichen X die maximalen Submonoide des Transformationsmonoides, die die Permutationen enthalten.