Matrix-valued Hermite-Biehler functions and generalized interlacing property

Abstract

The Hermite-Biehler Theorem, in its simplest form, characterizes complex polynomials whosezeros lie only in the lower half plane through the interesting property of its real and imaginarypart to have only real and interlacing zeros. The aim of this thesis is to give an analogue ofthe Hermite-Biehler Theorem for matrix-valued entire functions. We will proceed by studying Herglotz functions, especially those that are meromorphic on C and satisfy q(z) = q(z). It isknown that the poles and zeros of scalar Herglotz functions that are meromorphic on C are allreal, simple, and interlace, from which a product representation for functions of the aforementioned type can be deduced. Still, the more well-known representation for Herglotz functions isthe Herglotz-Nevanlinna integral representation, which is better established mostly due to thefact that it holds not only for scalar meromorphic Herglotz functions, but rather for every scalarand matrix-valued (or even operator-valued) Herglotz function. In this thesis, we will introducea generalized interlacing property which we use to prove a necessary and sufficient conditionfor a matrix-valued function which is real and meromorphic on C to be Herglotz. We can thenapply this criterion to formulate a version of the Hermite-Biehler Theorem for matrix-valuedentire functions.

Der Satz von Hermite-Biehler charakterisiert, in seiner einfachsten Form, komplexe Polynome, deren Nullstellen ausschließlich in der unteren Halbebene liegen. Das Ziel dieser Arbeit ist die Herleitung eines Analogons dieser Aussage für matrixwertige ganze Funktionen.Dazu wird zuerst auf die Theorie der (matrixwertigen) Herglotzfunktionen eingegangen, wobei jene Herglotzfunktionen eine besondere Rolle spielen werden, die meromorph auf C sind undQ(z) = Q(z) ∗ erfüllen. Es ist bereits bekannt, dass alle Null- und Polstellen einer skalarwertigen "meromorphen" Herglotzfunktion reell und einfach sind, wobei sich Null- und Polstellenabwechseln. Aus dieser Tatsache lässt sich insbesondere eine Produktdarstellung für skalarwertige meromorphe Herglotzfunktionen herleiten. Die bekanntere Darstellung einer Herglotzfunktion ist aber sicherlich die Integraldarstellung, die für beliebige Herglotzfunktionen gilt,gleich ob skalar- oder matrixwertig. Im Zuge dieser Arbeit wird eine verallgemeinerte Abwechslungsbedingung eingeführt, mithilfe derer auch matrixwertige, meromorphe Herglotzfunktionen charakterisiert werden können. Diese Charakterisierung kann wiederum verwendet werden, um eine Version des Satzes von Hermite-Biehler für matrixwertige ganze Funktionen zu formulieren.