Konvergenzuntersuchung verschiedener Rotationsparametrisierungen bei photogrammetrischen Grundaufgaben

Abstract

Um aus Bildern räumliche Informationen zu extrahieren ist es nötig, die Bilder im Raum oder relativ zueinander zu orientieren. Die Orientierung wird mit Hilfe der Aufnahmeparameter und Koordinaten festgelegt. Die Aufnahmeparameter setzen sich dabei aus den inneren und äußeren Orientierungsparametern zusammen. Die Parameter der inneren Orientierung werden, da sie "quasistatisch" sind, meist im Vorhinein durch eine Kamerakalibrierung bestimmt. Sie können jedoch auch vor Ort am Objekt bestimmt werden. Dies schlägt sich jedoch später in der Anzahl der in der Ausgleichung zu schätzenden Parametern nieder. Dem gegenüber stehen die Parameter der äußeren Orientierung, die sich in der Regel von einem Bild zum nächsten ändern. Die Parameter der äußeren Orientierung setzen sich dabei aus einem Verschiebungsterm (Translation) und einem Rotationsterm (Drehung) zusammen. Da der Verschiebungsterm linear ist, stellt dessen Berechnung im Allgemeinen kein Problem dar. Das größte Problem ist die Bestimmung des nichtlinearen Rotationsterms. Dieser kann in verschiedenen Parametern dargestellt bzw. beschrieben werden. Die bekannteste Parametrisierung für Rotationen stellen Winkel dar. Des Weiteren gibt es eine schier unendliche Auswahl an Möglichkeiten Rotationen zu parametrisieren. In dieser Arbeit sollen vor allem die Quaternionen-Parameter und die davon ableitbaren Cayley-Parameter untersucht und mit verschiedenen transzendenten Parametrisierungen verglichen werden. Trotz des Alters der Quaternionen werden sie bisher kaum in geodätischen Lehrbüchern erwähnt und finden allenfalls Beachtung in kleineren wissenschaftlichen Publikationen. Ihr offensichtlich großer Vorteil gegenüber den Winkeln besteht in ihrer Singularitätenfreiheit. Das heißt, aus jeder beliebigen Rotationsmatrix kann ein endlicher Satz Rotationsparameter berechnet werden. Im Fall der Quaternionen sind es immer zwei. Neben dem Vorteil der Singularitätenfreiheit wird oft das bessere Konvergenzverhalten bei iterativen Ausgleichungsaufgaben hervorgehoben. Da der Singularitätsvorteil allgemein bekannt ist und dafür spezielle Bilder von einem Objekt drum herum und in speziellen Lagen gemacht werden müssen, bezieht sich diese Untersuchung auf den Allgemeinfall von Bildern ohne Berechnung der inneren Orientierung. Der große Vorteil der Quaternionen vorab bleibt, dass eine Parametrisierung für alle Bildstellungen verwendet werden kann, während bei den transzendenten Parametrisierungen immer nach aero und terrestrisch unterschieden werden kann, um die Singularitäten zu umgehen. Ziel ist es nicht, ein Programm zu entwickeln das ohne Näherungswerte auskommt, sondern den Konvergenzbereich der verschiedenen Rotationsparametrisierungen im alltäglichen Gebrauch zu untersuchen und ausgehend von den Ergebnissen Aussagen zu treffen bzw. Empfehlungen zu einer der Parametrisierungen zu geben.

To extract spatial information from pictures it is necessary to orientate the pictures absolutely in space or relatively to each other. The orientation is defined using the camera parameters and coordinates. The camera parameters consist of interior and exterior parameters. The parameters of the interior orientation are "quasi-static" and usually calculated in a camera calibration before the pictures were taken. However, they can also be determined locally at the object. But this is reflected later in the number of parameters to be estimated in adjustment. On the other side, there are the exterior parameters which usually change from one picture to the next. The exterior parameters consist of a shift-term and a rotational-term. Since the shift-term is linear, its calculation is generally no problem. The biggest problem is the determination of the non linear rotation term. Rotations can be described by many different sets of parameters. The best-known representation is done using angles. Furthermore, there is an almost infinite variety of ways to parameterize rotations. In this master thesis the quaternion parameters and its derived Cayley-parameters are to investigate and compare with different angle based parameterizations. Despite the age of the quaternions, they are hardly been mentioned in geodetic textbooks but find most attention in smaller scientific publications. Their obviously great advantage in opposite of angles is their singularityness. This means, a finite set of rotation parameters can be calculated from any rotation matrix. In case of quaternions, there are always two of them. Besides the advantage of freedom of singularity the better convergence behavior is often highlighted in iterative adjustment calculations and should be proven. Since the singularity advantage is well known and for this case special images in special positions must be made by an object, this work refers to the investigation of the general case of images without calculating the inner orientation. The great advantage of quaternion advance remains is that one parameterization for all image positions can be used, while the angle parameterizations always can be differentiated into aero and terrestrial to avoid the singularities. It is not the aim to develop a program that manages without approximations, but to examine the range of convergence of the various rotation parameterizations in everyday use and make statements on the basis of the results and to make recommendations to the parameterizations.