An extension to Nitsche-type mortaring for non-conforming finite elements

Abstract

In dieser Arbeit werden Methoden entwickelt, die zur Vorhersage von elektro-thermo- mechanischen Interaktionen in Leistungshalbleitern benötigt werden, und aufgrund der durch die Miniaturisierung getriebenen Fortschritte an Wichtigkeit gewinnen. Im Kern der Untersuchungen stehen komplizierte Fehlermechanismen, zu deren Verständnis die gleichzeitige Auflösung der ganzheitlichen Baugruppe, als auch die detailgerechte Mo- dellierung von Einzelbereichen im Mikrometerbereich erforderlich ist. Der Nachweis ist mit herkömmlichen computergestützten Analysemethoden aufgrund der großen Unter- schiede im Maßstab (Zentimeter bei der Baugruppe gegen Submikrometer im Detail) nur sehr eingeschränkt möglich. Im Rahmen des Finiten Elemente Analyse werden Gebietszerlegungstechniken einge- setzt, um Multiskalen-Fragestellungen zu bearbeiten. Damit können unter anderem hoch- aufgelöste von grobaufgelösten Domänen getrennt werden. Im Rahmen der Arbeit wurde eine neue, auf der Nitsche-Methode basierende nicht-konforme Gebietszerlegung ent- wickelt, die eine verbesserte Entkopplung der Teilbereiche bewirkt und keine komple- xen Gitterschnittalgorithmen benötigt. Dies wird durch die Einführung einer virtuellen Kopplungsschnittstelle erreicht, auf dem die Freiheitsgrade global durch Basis-Splines re- präsentiert sind. Die Geometrie der Kopplungsschnittstelle ist durch nurbs beschrieben, was eine exakte Schnittstellenbeschreibung erlaubt. Dieser Aspekt ist der Isogeometri- schen Analyse entlehnt. Die Genauigkeit der Methode wurde anhand von strengen numerischen Tests mit anderen verfügbaren Methoden verglichen. Es zeigt sich eine gleichwertige Genauigkeit bei nied- riger Ordnung der Basisfuntionen, eine bessere Entkopplung (bzgl. der ursprünglichen Nitsche) und ein positiv definites Matrixsystem (bzgl. der Mortar Methode), was sich nachgewiesen positiv auf die Konditionszahl der Systemmatrix und die Lösungslaufzeit des Problems auswirkt. Zwei Anwendungsfälle im Bereich Leistungselektronik wurden im Detail untersucht. Im ersten Fall wird ein hochaufgelöster Temperatursensor, der in einem im Verhältnis deut- lich größerem Testchip eingebettet ist, elektro-thermisch analysiert. Der Vergleich zu Messdaten zeigte eine sehr gute Übereinstimmung. Die Auflösung, mit der der Sensor modelliert ist, wird in herkömlichen Untersuchungen dieser Art nicht erreicht. Im zweiten Fall spielt die elektro-thermische Wechselwirkung eine stärkere Rolle, da ein Stromsen- sor auf einem Metalloxid-Feldeffekttransistor untersucht wird, dessen Leitfähigkeit stark nichtlinear von der Temperaturverteilung abhängig ist. Dafür wurde eine neues Mate- rialmodell implementiert, welches die Inhomogenität von Temperatur und Arbeitspunkt auf einem ausgedehnten Paralleltransistorfeld inhärent berücksichtigt.

In the present work, methods to predict electro-thermo-mechanical interaction in power semiconductors are developed. Their need is driven by the continued trend towards higher power densities resulting in complex failure mechanisms. To understand, model and prevent them, state-of-the art simulation tools are insufficient, due to their inability of resolving both the device in its entirety at centimeter-scale and selected micrometer- scale details simultaneously. In the analysis framework of the Finite Element Method, Domain Decomposition tech- niques are utilized to tackle multi-scale problems, e.g., to separate finely and coarsely resolved subdomains. In the course of this work a new, non-conforming domain decom- position technique is developed, based on the Nitsche method. It results in efficient decoupling of subdomains and does not require complex operations for generating inter- section grids. This is achieved by introducing a virtual coupling interface on which the degrees of freedom are defined globally with respect to the geometry and represented by means of basis splines. The interface geometry is given by Non-uniform Rational Basis Splines (nurbs), or generalized basis splines,allowing for an exact description of curved interfaces, an aspect incorporated from Isogeometric Analysis. The method is tested with rigorous numerical benchmarks in terms of accuracy and run time performance. It is shown that for low order basis functions, the method is on a par with existing methods, but results in better de-coupling (wrt. Nitsche) and a positive definite system matrix (wrt. Mortar ). Both aspects are beneficial for the matrix condition and measurably improve the solution time of the linear system of equations. Two applications towards power electronics are discussed. First, a finely resolved inte- grated temperature sensor is embedded in a much larger test chip and both are ade- quately resolved. An electro-thermal analysis yields good agreement with experimental verification. The high spatial resolution of sensor details would not be possible with classical Finite Element techniques. Second, a current sensor embedded in a parallel field-effect transistor array is modeled. In this example, the electro-thermal interaction has a much stronger impact, as the temperature dependency of the transistor conduc- tivity exhibits a highly nonlinear behavior. To model the transistor adequately, a new Finite Element material law has been implemented, which takes the inhomogeneity of temperature and bias voltages on laterally extended transistor array inherently into account.