Linearization of the platform equation of motion of undamped cable-driven parallel manipulators

Abstract

Modell: Als "seilgetriebene parallele Manipulatoren" werden jene Manipulatoren bezeichnet, deren Plattform parallel von einer Anzahl an Seilen kontrolliert wird.<br />Diese Arbeit betrachtet kleine bis mittelgroße Konfigurationen solcher Manipulatoren. Die Seile können somit als masselos und schlaff betrachtet werden, während Seildehnung berücksichtigt werden soll.<br />Folglich wird jedes Seil als masselose Axialfeder modelliert; es wird von einer nichtlinearen Federcharakteristik ausgegangen. Im Gegensatz dazu wird die Plattform als starr angenom- men und die Kinematik der Aktuatoren wird auf einen konstanten Punkt reduziert. Die Plattform besitzt sechs Freiheitsgrade. Reibung wird vernachlässigt.<br />Resultate: In dieser Arbeit wird die Bewegungsgleichung der Plattform um die statische Ruhelage linearisiert. In diesem Zusammenhang wird gezeigt, dass aus einem Satz von nicht gedehnten Seillängen oder Seilkräften verschiedene stabile Gleichgewichtslagen resultieren können. Weiters wird die Steifigkeit des Manipulators untersucht. Es wird die generalisierte Steifigkeit eingeführt, welche die Änderung der aus den Seilkräften resultierenden Kraft und des resultierenden Moments in Folge einer Änderung der nicht gedehnten Seillängen beschreibt. Ferner wird die kartesische Steifigkeit der Plattform analysiert und beide Steifig- keitsmatrizen werden explizit angegeben. Nachdem die statische(n) Ruhelage(n) und die Steifigkeitsmatrizen bekannt sind, ist die Linearisierung der Bewegungsgleichung trivial. Wir untersuchen die linearisierte Differentialgleichung für den homogenen und quasistatischen Sonderfall. Im Besonderen bestimmen wir die notwendige Änderung der nicht gedehnten Seillängen, um eine geforderte Plattformverschiebung zu erzielen; eine Änderung der auf die Plattform einwirkenden Kräfte und Momente wird dabei zugelassen und berücksichtigt. Wir geben auch den Zusammenhang zwischen einer Änderung der nicht gedehnten Seillängen und der daraus resultierenden Änderung der Seilkraftverteilung an. Alle Ergebnisse werden durch Simulation bestätigt

Model: A "cable-driven parallel manipulator" is a manipulator whose platform is parallely actuated by a number of cables. Focusing on small- to medium-scale configurations, this thesis considers the cables as massless and ideally limp, while cable elongation shall be considered. Thereby, each cable is modeled as a massless axial spring.<br />We assume a generic nonlinear spring characteristic. In contrast, the platform is assumed to be rigid and the kinematics of each actuator is reduced to a constant cable outlet point.<br />The platform shows six degrees of freedom. Friction is neglected.<br />Findings: This thesis presents the linearization of the platform equation of motion of cable-driven parallel manipulators around static state. In that context we show that for one and the same underlying set of non-elongated cable lengths or cable forces, multiple stable equilibrium poses may exist. Next, the manipulator stiffness is investigated: The generalized stiffness which describes the wrench change due to a variation of the non-elongated cable lengths is introduced. The Cartesian platform stiffness is discussed in detail. Both stiffness matrices are given as explicit formula. With known static platform pose(s) and system stiffness, the linearization of the platform equation of motion is straightforward. We analyze the linearized differential equation for the homogeneous and quasistatic case. In particular, we determine the required change of the non-elongated cable lengths to achieve a desired platform displacement under consideration of a changing platform load.<br />Moreover, we state the relation between a change of the non-elongated cable lengths and the change of cable forces. All findings are verified in simulation