Steinerflächen

Abstract

Die Steinerflächen wurden nach ihrem Entdecker Jakob Steiner benannt. Es sind Flächen von maximal vierter Ordnung, welche durch Projektion der im projektiven 5-Raum liegenden Veronese in den projektiven 3-Raum entstehen. Je nach Lage des Projektionszentrums, kann sich die Ordnung der Steinerfläche auf drei oder zwei verringern, oder es können verschiedene Singularitäten auf der Fläche auftreten. Durch diese unterschiedlichen Lagen des Projektionszentrums können zehn verschiedene Typen von Steinerflächen charakterisiert werden. Davon sind fünf Typen von vierter Ordnung, zwei Typen von dritter Ordnung und drei Typen von zweiter Ordnung. Die allgemeine Steinerfläche vierter Ordnung ist die Römerfläche. Sie besitzt drei reellen, singuläre Doppelgeraden, welche sich in einem Punkt, dem so genannten Tripelpunkt, schneiden.<br />Konjugierte Lagen der Doppelgeraden oder Zusammenfallen zweier oder sogar aller drei Doppelgeraden sind charakteristisch für weitere Typen von Steinerflächen vierter Ordnung. Steinerflächen dritter Ordnung sind Regelflächen, deren Erzeugende in einem hyperbolischen oder einem parabolischen Netz liegen. Steinerflächen zweiter Ordnung sind ringartige oder ovale Quadriken.<br />Weiters lassen sich manche Steinerflächen auch als Schiebflächen erzeugen. Diese Erzeugung ist nur bei Steinerflächen dritter Ordnung möglich, welche Parabeln als Profil- bzw. Leitkurve besitzten. Man unterscheidet dabei drei verschiedene Flächentypen. Es gibt steinersche Schiebflächen mit zwei reellen Plattkegelschnitten, mit zwei konjugiert komplexen Plattkegelschnitten und einem einzigen Plattkegelschnitt.<br />Des weiteren wird auch die duale Fläche zur allgemeinen Steinerfläche untersucht. Diese entspricht der Cayleyfläche (3. Ordnung), welche vier singuläre Punkte und neun Geraden trägt.