Stability analysis and controller design of local model networks

Abstract

In dieser Dissertation werden verschiedene Methoden zur Stabilitätsanalyse und Reglerauslegung von lokalen Modellnetzwerken dargestellt. Für die praktische Verwendung von lokalen Modellnetzwerken spielt die Stabilität eine besonders wichtige Rolle. Die Untersuchung der Stabilität von lokalen Modellnetzwerken basiert auf der direkten Methode nach Lyapunov. Aus deren Stabilitätsbedingungen resultieren für lokale Modellnetzwerke sogenannte LMIs (Linear Matrix Inequalities) welche numerisch gelöst werden. Hier spielt die Konservativität eine entscheidende Rolle, da ein Stabilitätsnachweis, je nach verwendeter Lyapunov Funktion, scheitern kann obwohl das System stabil ist. Es wurden drei verschieden Ansätze untersucht und weiterentwickelt sowie Methoden entwickelt um deren Konservativität zu verringern und quantitativ messbar zu machen. Ein weiterer wichtiger Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der PID Reglerauslegung für lokale Modellnetzwerke. Bei nichtlinearen PID Reglern für lokale Modellnetzwerke ist der Stabilitätsnachweis bzw. deren Auslegung wesentlich aufwändiger als bei Zustandsraumreglern. Dabei ist eine Transformation des geschlossenen Regelkreises (LMN & PID Regler) erforderlich. Die größte Herausforderung besteht jedoch bei der Reglerauslegung. Durch die begrenzte Anzahl der Reglerparameter ist die Transformation der BMIs in LMIs, wie es bei Zustandsraumreglern der Fall ist, nicht mehr möglich und daher nicht lösbar für LMI Solver. Die Weiterentwicklung der ersten Solver für BMIs wurde mittlerweile wieder eingestellt und derzeit ist kein brauchbarer Solver verfügbar. Daher werden in dieser Arbeit zwei Lösungsansätze vorgestellt. Beim ersten wird iterativ gearbeitet wobei in jedem Iterationsschritt LMIs zu lösen sind. Bei der zweiten Methode wird ein genetischer Algorithmus für die Festlegung der PID Reglerparameter verwendet wobei für jedes Individuum die LMIs gelöst werden müssen, was einen sehr hohen Rechenaufwand darstellt. Der genetische Algorithmus lässt sich allerdings sehr gut parallelisieren wodurch beim Einsatz von modernen Mehrkernprozessoren der Zeitaufwand in Grenzen gehalten werden kann. Im Allgemeinen hat sich dieser Ansatz als sehr leistungsstark erwiesen und zeigt eine gute Konvergenz. Des Weiteren ermöglicht der genetische Algorithmus die simultane Optimierung von (gegensätzlichen) Optimierungskriterien. Daher wurde dieser Ansatz erweitert um Stabilität und Performance des geschlossenen Regelkreises in der Optimierung zu berücksichtigen. Der Anwender erhält mehrere gleichwertige Lösungen zur Auswahl. Theoretisch kann dieser Ansatz auch für State-Feedback Regler verwendet werden, was allerdings nicht im Fokus dieser Arbeit stand.

This thesis treats various methods for stability analysis and controller design of local model networks. For the practical application of local model networks stability is of major interest. Stability analysis of local model networks is based on Lyapunov's direct method. From the stability condition follows LMIs (Linear Matrix Inequalities) which are numerically solved. In this context the conservatism is crucial because a stability proof may fail even when the system is globally stable, depending on the used Lyapunov criterion. For this purpose, three commonly used Lyapunov approaches were extended to reduce their conservatism and provide a quantitative measure for their comparison. A further important part of this thesis treats PID controller design for local model networks. The calibration of nonlinear PID controller for local model networks is significantly more complex than the calibration of state-feedback controller. The required transformation of the closed-loop (LMN & PID controller) into a state-space model is significantly more advanced than for state-feedback controller. However, the main challenge lies in the controller calibration. The mentioned matrix transformation from BMIs int LMIs is not possible and thus not solvable for LMI solver. Currently, the development of the first BMI solver is discontinued and no useful BMI solver is available. Thus, two approaches are treated in this work. The first approach works iteratively to get LMIs in each iteration step. The second approach uses a genetic algorithm to determine the PID controller parameters where for each individual the stability is checked, which results in a high calculation effort. The results have shown, that this approach is powerful and has a good convergency. Further, the genetic algorithm allows simultaneous optimization of (competing) optimization criteria. Thus, this approach was extended to evaluate stability and performance of the closed-loop. A calibration engineer can choose between multiple equivalent results. Theoretically, this approach can be adopted for state-feedback controllers, but this was not focus of this work.