High-order weak approximation schemes for SPDEs with applications

Abstract

Das Ziel dieser Diplomarbeit ist es, ein numerisches Verfahren der schwachen Ordnung 2 von Syoiti Ninomiya und Nicolas Victoir zum Lösen der stochastischen Differentialgleichungen zu präsentieren. Mit dieser Methode können wir auch stochastische partielle Differentialgleichungen numerisch lösen. Hier stellen wir auch die stochastische Analysis in Hilberträumen und die von einem unendlichdimensionalen Wiener-Prozess und einem kompensierten Poissonschen Zufallsmaß angetriebenen stochastischen partiellen Differentialgleichungen mit pfadabhängigen Koeffizienten und ihre Lösungskonzepte vor. Die Existenz-und Eindeutigkeitsergebnisse werden präsentiert. Zum Schluss lösen wir mit dem Ninomiya-Victoir Schema die Brody-Hughston stochastischen partiellen Differentialgleichungen von Zinstheorie, als eine praktische Anwendung in der Finanz.<br />

The aim of this master thesis is to present a numerical method of weak order 2 invented by Syoiti Ninomiya and Nicolas Victoir to approximate weakly stochastic differential equations. With this method we can also solve numerically stochastic partial differential equations.<br />Here we also introduce the stochastic analysis in Hilbert spaces and stochastic partial differential equations with path dependent coefficients driven by an infinite dimensional Wiener process and a compensated Poisson random measure. Different concepts of solutions are presented and existence and uniqueness results are established. At last we review the Brody-Hughston approach of interest rate theory and solve the Brody-Hughston stochastic partial differential equation with the Ninomiya-Victoir scheme, as a practical application in finance.