Explizite Berry-Esseen-Schranken für die asymptotische Normalität der Standard-Schätzer für Kendalls Tau

Abstract

Bei den Banken und Versicherungen ist das Schätzen von stochastischen Abhängigkeiten ein sehr wichtiges Thema. In der Risikoanalyse oder in der Kapitalanlage will man beispielweise ermitteln, ob Wertpapiere miteinander korrelieren. So ein Mass der Abhängigkeit untersuchen wir in unserer Arbeit - das Abhängigkeitsmaß Kendalls Tau. Kendalls Tau ist ein auf Rängen basierendes Maß, dass nur von der Abhängigkeitsstruktur der betrachteten Variablen und nicht von ihrer Randverteilungen abhängt. Als Schätzer für Kendalls Tau nehmen wir die U-Statistik. Diese Statistik ist im u.i.v. Fall unverzerrt und unter bestimmten Bedingungen konvergiert sie gegen die Normalverteilung.<br />Fur die Konvergenzgeschwindigkeit der U-Statistiken gibt es den Satz von Berry-Esseen. Wir präsentieren zu diesem Satz den Beweis von Lee (1990).<br />In seinem Beweis wurden die Konstanten, die fur die Konvergenz ausschlaggebend sind, nicht numerisch ausgewertet. Der Schwerpunkt unserer Arbeit besteht darin, für diese Konstanten bestmögliche Abschätzungen zu finden.<br />Anschließend führen wir eine Simulationsstudie fur einige Copulas durch, um zu sehen, wie sich der Tau-Schätzer bei endlicher Stichprobengröße verhält.<br />

The estimating of stochastic dependence is very important issue in banking and insurance. It serves you trying to determine how financial instruments of the risk analysis or capital investment correlate with each other. That's why in our work we investigate the Kendall's tau as a measure of dependence.<br />The Kendall's tau is based on ranks, it builds not upon their marginal distributions but upon the dependence structure of the considered variables. Therefore, we take the U-statistic as an estimator of Kendall's tau. In the case of i.i.d samples this statistic is unbiased and under certain conditions it converges to the normal distribution.<br />The Berry-Esseen theorem for U-statisics determines the rate of convergence. We present the proof of the Berry-Esseen theorem proposed by Lee (1990). In his evidence the constants, which are important for the convergence rate, were not expressed in numerical form. Our work is focused on finding the best possible estimates for these constants. Finally, we carry out a simulation study for several well-known copulas to see how the tau-estimator behaves at finite sample size.