Minkowski valuations and the special linear group

Abstract

Eine Bewertung ist ein Funktional, das auf der Menge aller konvexen Körper definiert ist und die gleiche Additivätseigenschaft bezüglich Vereinigung und Schnitt erfüllt wie das Volumen und die Oberfläche. Das Studium von Bewertungen geht zurück auf Dehn, der mit ihrer Hilfe Hilberts drittes Problem löste. Spätestens seit Hadwigers berühmter Klassifizierung aller stetigen bewegungsinvarianten Bewertungen in den 50er Jahren ist das Studium von Bewertungen ein zentraler Bestandteil der Konvexgeometrie.<br />In den letzten Jahren haben sich sogenannte Minkowski Bewertungen als interessantes und lohnenswertes Studienobjekt erwiesen. Hier werden Bewertungen betrachtet, deren Werte wiederum konvexe Körper sind. Von besonderem geometrischen Interesse sind Minkowski Bewertungen, die verträglich mit volumserhaltenden linearen Transformationen sind, wie etwa der auf Minkowski zurückgehende Projektionenkörperoperator. Nach dem Vorbild des Charakterisierungssatzes von Hadwiger wurden solche Minkowski Bewertungen sowohl im kovarianten als auch im kontravarianten Fall erstmals von Ludwig klassifiziert. Später wurden diese Sätze von Haberl durch Verzicht auf Homogenitätsanforderungen verallgemeinert.<br />Minkowski Bewertungen wiederum treten als Spezialfall p=1 von L_p-Minkowski Bewertungen auf. In dieser Dissertation werden eben solche L_p-Minkowski Bewertungen untersucht. Ludwigs Klassifizierungssätze für L_p-Minkowski Bewertungen werden, ähnlich wie im p=1 Fall von Haberl, durch Verzicht auf Homogenitätsanforderungen verallgemeinert.<br />Alle diese Sätze behandeln Bewertungen, die auf konvexen Polytopen, die den Ursprung enthalten, definiert sind. Im letzten Teil der Dissertation wird eine Klassifizierung aller reellwertigen oberhalbstetigen Bewertungen auf konvexen Polytopen, die den Ursprung im Inneren enthalten, und invariant unter volumserhaltenden linearen Transformationen sind, bewiesen. Dies beantwortet die lange offene Frage nach einer zentroaffinen Version des Satzes von Hadwiger.<br />

A valuation is a functional which is defined on the set of all convex bodies and has the same additivity property with respect to union and intersection as the volume and the surface area. The study of valuations goes back to Dehn, who used them to solve Hilberts third Problem. Since Hadwiger's famous classification of all continuous rigid motion invariant valuations in the 50s, the study of valuations has become a central part of convex geometry.<br />In the last few years so called Minkowski valuations became the focus of an interesting and rewarding investigation. Here, valuations with convex bodies as values are being considered. Of particular geometric interest are Minkowski valuations which are compatible with volume preserving linear transformations, such as the projection body operator, which goes back to Minkowski. In the spirit of Hadwiger's characterization theorem such Minkowski valuations have been characterized in the covariant and contravariant case for the first time by Ludwig. Later, these theorems were generalized by Haberl by omitting homogeneity assumptions.<br />Minkowski valuations appear as the special case p=1 of L_p-Minkowski valuations. In this thesis such L_p-Minkowski valuations are investigated. Ludwig's classification theorems for L_p-Minkowski valuations are generalized, similar to the p=1 case by Haberl, by omitting homogeneity assumptions.<br />All these theorems deal with valuations that are defined on convex polytopes containing the origin. In the last part of the thesis, a classification of all real valued upper semicontinuous valuations on convex polytopes containing the origin in their interiors that are invariant under volume preserving linear transformations is proved. This solves the long-standing open problem of finding a centro-affine version of Hadwiger's theorem.<br />