SO(n)-equivariant Minkowski valuations

Abstract

In dieser Arbeit untersuchen wir Minkowski-Bewertungen und beweisen eine neue, besonders zugängliche Darstellung von Minkowski-Bewertungen, die mit der Rotationsgruppe $SO(n)$ kompatibel sind. Diese neue Beschreibung mittels Oberflächenmaßen konvexer Körper ist eine weitreichende Ausdehnung der klassischen Integraldarstellung des Projektionenkörperoperators auf die gesamte Klasse der $SO(n)$-äquivarianten, translationsinvarianten, glatten Minkowski-Bewertungen. Der Beweis dieses Resultats beruht auf Aleskers Theorie der translationsinvarianten, stetigen Bewertungen einerseits und Methoden aus der Theorie (un-)endlich-dimensionaler Gruppendarstellungen andererseits. Aus dem Beweis dieses Hauptresultats ergeben sich nicht nur einige neue Beweise bekannter Sätze aus der Theorie der Minkowski-Bewertungen, sondern zum Teil auch verbesserte Versionen dieser Sätze. Abgesehen von einem kurzen, einführenden Kapitel in die moderne Bewertungstheorie, behandeln wir auch Minkowski-Bewertungen, die mit der speziellen linearen Gruppe $SL(n)$ kompatibel sind, und charakterisieren diese ohne Translationsinvarianz vorauszusetzen. Im letzten Kapitel untersuchen wir die Stabilität der Klain-Abbildung. Als Konsequenz dieser Untersuchung erhalten wir, dass die McMullen-Zerlegung für die Klasse der translationsinvarianten, stetigen, positiven Bewertungen nicht existiert. Daraus folgt unmittelbar, dass auch eine McMullen-Zerlegung in der Klasse der translationsinvarianten, stetigen Minkowski-Bewertungen nicht existiert.<br />

In this work we investigate Minkowski valuations and establish a new, particularly accessible representation of those Minkowski valuations which are compatible with the rotation group $SO(n)$. This new description of involving area measures of convex bodies is a far-reaching extension of the well-known classical integral representation of the projection body operator to the whole class of $SO(n)$-equivariant, translation-invariant, smooth Minkowski valuations.<br />The proof of this result draws on Alesker's theory of translation-invariant, continuous valuations and on tools from the theory of finite and infinite dimensional group representations. From the proof of the main result we do not only obtain new proofs of some previously known results on Minkowski valuations, but we also obtain in some cases strongers versions of these theorems. Apart from a short introductory chapter on the modern theory of valuations, we also treat Minkowski valuations which are compatible with the special linear group $SL(n)$, which we characterize without assuming translation invariance.<br />In the last chapter we investigate the stability of the Klain map. As consequence of this inverstigation, we obtain that a McMullen decomposition does not exist in the class of translation invariant, continuous, positive valuations. This immediately implies the non-existence of a McMullen decomposition in the class of translation-invariant, continuous Minkowski valuations.