Algorithms for the steady state solution of non-linear piezoelectric systems

Abstract

Piezoelektrische Materialien besitzen ein breites Anwendungsspektrum und werden in Aktoren sowie in Sensoren eingesetzt. Das Material zeigt ein starkes nichtlineares Verhalten, welches meist nur linearisiert angenähert wird. Das Ziel dieser Studie ist einen Algorithmus zu entwickeln, der ein eindimensionales piezoelektrisches System inklusive Nichtlinearitäten im eingeschwungenen Zustand lösen kann. Das nichtlineare Verhalten von piezoelektrischen Materialien, im speziellen piezoelektrischen Keramiken, wird mithilfe von wichtigen Erkenntnissen aus der aktuellen Literatur erläutert und verschiedene Polarisationsmechanismen kurz dargestellt. Die Polarisation wird unter Verwendung der Domain-Wall-Theorie modelliert, das auf dem Jiles-Atherton-Model für die magnetische Hysterese basiert. Die Interaktion zwischen der Polarisation und dem elektrischen Feld resultiert in einer typischen Hysterese. Ausgehend von dem dreidimensionalen linearen piezoelektrischen System wird ein eindimensionales System, unter passenden Annahmen, hergeleitet. Das eindimensionale System wird mithilfe des Domain-Wall-Model um das nichtlineare Polarisationsverhalten erweitert. Durch den multiharmonischen Ansatz und Harmonic-Balance-Methode wird das System für eingeschwungene Zustände gelöst. Die nichtlineare Polarisation wird im Zeitbereich mit dem Domain-Wall-Model berechnet und anschließend in den Frequenzbereich transformiert. Im Frequenzbereich wird das System durch drei verschiedene Fixpunkt-Iterationen (r-Ansatz, E-S-Ansatz und chi-Ansatz) gelöst. Mithilfe dieser Ansätze wird das eindimensionale System für verschiedene Lastfälle gelöst und die Resultate miteinander verglichen. Der E-S-Ansatz konvergiert nicht immer und der chi-Ansatz ist im Vergleich zu den anderen Ansätzen ungenau. Die besten Ergebnisse werden mit dem r-Ansatz erzielt. Dieser ist sehr robust und kann als einziger Algorithmus mit bipolaren Lastfällen umgehen. Zudem konvergiert der r-Ansatz auch mit wenigen Termen des multiharmonischen Ansatzes zur richtigen Lösung. Des weiteren wird mit einer höheren Anzahl an Termen die Lösung besser approximiert.

Piezoelectric materials have a wide range of applications and are used in actuators as well as in sensors. The materials have a non-linear material behavior, which are often modeled linearly. The range of applicability for linear models is limited due to the actual nonlinear behavior of the material. The goal of this thesis is to develop an algorithm that can find the steady state solution of a nonlinear one dimensional piezoelectric system.The nonlinear behavior of piezoelectric ceramics is described by highlighting important results from literature review and various polarization mechanisms are presented. The interaction between the polarization and the electric field results in a typical hysteresis. For modeling the polarization hysteresis the domain wall model is used, which is based on the Jiles-Artherton model for magnetization. Starting from the linear three dimensional constitutive equations, suitable assumptions are made to derive the one dimensional piezoelectric system. The one dimensional system gets extended with the nonlinear polarization behavior using the domain wall model. With the use of the multiharmonic approach and the harmonic balance method, the system is solved for quasi-static steady state solutions. The nonlinear polarization is evaluated in the time domain and transformed into the frequency domain, where the system is solved via fix point iteration. Three different fix point iterations (r-approach, E-S-approach and chi-approach) are introduced. With the help of these approaches, the system gets solved for various load cases and the results are compared. The E-S-approach does not converge for every case and the chi-approach is slow and not very accurate compared to the r-approach. The best results are obtained with the r-approach. This approach is very robust and is the only approach that handles bipolar loading cases well. Furthermore the r-approach converges to the correct solution even when considering only a few harmonics. With a larger number of considered harmonics the solution can be approximated more accurately, at the expense of greater numerical effort.