Title: Fictitious Domain Approach for Optimizing Stability Boundaries of Plates with Cutouts
Other Titles: Methode der fiktiven Gebiete zur Optimierung der Stabilitätsgrenzen von Platten mit Ausschnitten
Language: English
Authors: Duy, Robert 
Qualification level: Diploma
Advisor: Vetyukov, Yury  
Issue Date: 2021
Number of Pages: 41
Qualification level: Diploma
Abstract: 
Die vorliegende Diplomarbeit hat das Ziel der Weiterentwicklung und Verbesserung der numerischen Methoden zur Berechnung strukturmechanischer Probleme. Als besonderes Beispiel aus der Strukturmechanik wird das Stabilitätsproblem des Beulens von dünnen Platten herangezogen. Je nach Aufgabenstellung stehen für einfache Probleme analytische Lösungen bereit; jedenfalls aber werden numerische Methoden wie die Finite Elemente Methode (FEM) mit großem Erfolg eingesetzt um auch Probleme mit komplexeren Geometrien, Lastfällen und Randbedingungen behandeln zu können.Die Behandlung von Platten mit Löchern allerdings ist immer noch mit gewissen Schwierigkeiten verbunden. Zum einen exisitieren dafür nur semi-analytische Lösungsansätze, zum anderen ist die Diskretisierung des Problems im Rahmen der Finite Elemente Methode mit einigem Aufwand verbunden. Dies gilt besonders bei wiederholten Analysen, die sich nur durch einzelne, bestimmte Parameter unterscheiden, wie zum Beipiel der Position des Loches.Die Finite Zellen Methode (FCM) als Weiterentwicklung der FEM wird in dieser Arbeit derart eingesetzt, dass der Aufwand zur Erzeugung konformer Diskretisierungen entfällt, wenn die Position des Loches in der Platte geändert wird. Die FCM beruht auf der Idee, dass die Geometrie des eigentlichen Problems in ein größeres Gebiet eingebettet wird und dieses Gebiet wiederum in sogenannte physikalische und fiktive Gebiete unterteilt wird. Diese Einbettung begründet den Namen „Fiktiver Gebietsansatz“. Durch die folgende nicht-geometiekonforme Diskretisierung des Problems müssen diskontinuierliche Integranden behandelt werden. Die fordernste Aufgabe zur Lösung des Problems ist nun nicht mehr die geometriekonforme Diskretisierung wie bei der FEM, sondern die Berechnung der Systemmatrizen, die die genaue Integration der diskontinuierlichen Integranden erfordert. Die Einführung eines nicht-geometriekonformen Netzes, das in diesem Fall rein kartesisch ist, erlaubt auch die Verwendung von Ansatzfunktionen, die aufgrund gewisser Nachteile in FEM-Berechnungen kaum mehr Anwendungen finden. In dieser Arbeit werden die sogenannten Bogner-Fox-Schmit (BFS) Ansatzfunktionen verwendet. Die ausgezeichneten Konvergenzeigenschaften der damit definierten BFS-Elemente werden in der Berechnung des ebenen Spannungszustands, des Platten- und des Beulproblems ausgenutzt; sie sorgen, gemeinsam mit der Effizienz der FCM, für ein schnelles und leicht adaptierbares Lösen des Beulproblems für Platten.Abschließend wird diese neue Methode eingesetzt um die Stabilitätsgrenzen von Platten mit Löchern zu optimieren. Dafür wird ein Plattenproblem vorgestellt, bei dem die Position eines Loches mit bekanntem Radius gesucht wird, die die kritische Beullast maximiert. Entgegen der anfänglichen Intuition zeigt sich, dass die Einführung von Löchern die Beullast nicht immer verringert, sondern sie im Vergleich zur Vollplatte auch erhöhen kann!

The focus of the present master’s thesis is on further developing and improving numerical methods for their application in structural mechanics. In particular, the stability problem of buckling of thin plates is considered. Depending on the geometry of the structure and ist loading conditions, analytical solutions exist only for simple problems. For more complex problems however, numerical methods like the Finite Elements Method (FEM) are applied with great success. Doing so, it is also possible to deal with complex geometries, loading, and boundary conditions.The treatment of plates with cutouts is, however, still associated with certain difficulties. There only exist semi-analytical solutions, and, more importantly, the discretization of the problem is elaborate; even more so in the case of repeated analyses which only differ in few parameters, for example the position of the cutout.In this thesis the Finite Cell Method (FCM), as an extension of traditional FEM, is applied in a way that the mesh generation burden in FEM is alleviated when the position of the hole changes. FCM is based on embedding the original problem geometry in a larger one, the so-called extended domain. The extended domain is then again split in the physical and the fictiticous domains, establishing the name “Fictitious Domain Approach” for this method. The subsequent non-geometry conforming discretization introduces discontinuous integrands. Thus, the difficulty in solving this problem now no longer lies in the geometry conforming discretization and preparation of the problem, but in the computation of the system matrices, which requires precise evaluation of the discontinuous integrands. The introduction of a non-geometry conforming discretization, which is in this case strictly Cartesian, allows the application of shape functions, which are rarely applied today due to certain limitations. In this thesis, the so-called Bogner-Fox-Schmit (BFS) shape functions are used. Finite elements based on these functions show an excellent convergence behaviour; along with the efficiency of FCM this ensures the fast and easy-to-modify solution of the buckling problem of plates.Finally, this newly developed method is applied to optimize the stability boundaries of plates with cutouts. A plate problem is introduced and the position of a hole is of interest, for which the critical buckling load is maximized. Counterintuitively, it is shown that the introduction of cutouts does not always result in a decreased critical load, but that in fact it can be increased compared to a plate without holes!
Keywords: Strukturmechanik; Platten; Stabilität; Finite Elemente; Numerische Methoden; Optimierung
Structural mechanics; Plates; Stability; Finite elements; Numerical methods; Optimization
URI: https://doi.org/10.34726/hss.2021.70501
http://hdl.handle.net/20.500.12708/16898
DOI: 10.34726/hss.2021.70501
Library ID: AC16150505
Organisation: E325 - Institut für Mechanik und Mechatronik 
Publication Type: Thesis
Hochschulschrift
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