Running coupling constant in the model of topological fermions

Abstract

The model of topological fermions (MTF) is a generalization to 3+1 dimensions of the Sine-Gordon wave equation. This is a non linear, differential equation, which solutions have particle like behaviour and are invariant under Lorentz transformations. Solutions of the MTF are characterised by two topological quantum numbers, for spin and charge quantization, respectively. They are associated to electron/positron and spin up/down. Photon like excitations are also possible in the limit of potential energy equals zero, where the presented model converges into Maxwell's electrodynamic.The MTF tries to geometricize particle physics, which is a rare concept in contrast to the great efforts made to quantize gravitation. Maybe, the MTF opens a door to understand modern physics in a better way. To test the model, we compare it with the quantum field theory of electrodynamics (QED), where the effect of the running coupling constant arises. This effect is also present in the Sine-Gordon model and the MTF. We want to find out, if they coincidence.To do so, Wabnig, Resch and Theuerkauf developed numerical routines to minimize the energy of a dipole configuration on a lattice. In the present work, Theuerkauf's algorithm was examined in depth on its precision. By use of this knowledge, a new numerical routine with enhanced accuracy was created in Matlab. The overall accuracy could be improved by adding some interpolation routines, using symmetry arguments and introduce a term known from the Skyrme model. A conjugate gradient method was used to minimize the total energy of the configuration. Fortunately, the run times didn't get unreasonable big and stay in the same order of magnitude.The new algorithm was first tested for the monopole configuration, where the analytical solution is known. After that it was applied on dipoles. The running coupling function was then extracted from the obtained energies and compared to the experimental data.

Das Modell topologischer Fermionen (MTF) ist eine Verallgemeinerung des Sine-Gordon-Modells auf 3+1 Dimensionen, das invariant unter Lorentztransformationen ist. Dieses klassische Modell ist durch eine nichtlineare Differentialgleichung mit solitonischen Lösungen beschrieben, die teilchenartige Eigenschaften besitzen. Diese Lösungen sind durch zwei topologische Quantenzahlen charakterisiert, die Spin und Ladung entsprechen. Es gibt vier stabile solitonische Lösungen, die Spin-ab- und Spin-auf-Zuständen mit den Ladungen von Elektron und Positron entsprechen. Darüber hinaus gibt es photonartige Anregungen, die durch ein verschwindendes Potential beschrieben werden und Übereinstimmungen zur Maxwellschen Elektrodynamik zeigt. Das MTF versucht diesen Bereich der Teilchenphysik zu geometrisieren und ist somit ein zur Quantisierung der Gravitation alternativer Ansatz. Als Test des Modells wird es mit der Quantenelektrodynamik (QED) verglichen, in dem der Effekt der gleitenden Kopplungskonstante auftritt. Ein analoger Effekt tritt in Sine-Gordon.Modell und im MTF auf. Die Übereinstimmung der Voraussagen wird in dieser Arbeit überprüft. Wabnig, Resch und Theuerkauf haben Routinen zur Energieminimierung einer Dipolkonfiguration auf einem Gitter entwickelt. Diese Arbeit hat den Algorithmus von Theuerkauf auf seine Genauigkeit überprüft. Auf Grund dieser Erfahrungen wurden neue numerische Routinen mit erhöhter Genauigkeit in Matlab geschrieben. Die Genauigkeit konnte durch Interpolationsmethoden, Symmetrieargumente und einem aus dem Skyrmemodell bekannten Zusatzterm erhöht werden. Mit einem Konjugierten Gradientenverfahren wurde die Gesamtenergie der Dipolkonfiguration minimiert. Glücklicherweise nahmen dadurch die Laufzeiten des Minimierungsverfahrens nur unwesentlich zu. Der Algorithmus wurde an einer analytisch bekannten Einsolitonlösung getestet und auf die Dipolkonfiguration angewendet. Die gleitende Kopplungskonstante wurde aus dem Energieverlauf errechnet und mit den experimentellen Daten verglichen.