On the triple deck and Euler stages of transitional separation bubbles

Abstract

Der Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung ist eine fundamentale Fragestellung in der Strömungsmechanik und spielt in vielen technischen Anwendungen eine relevante Rolle. In dieser Arbeit werden lokal abgelöste Grenzschichtströmungen mit großen Reynolds-Zahlen behandelt, bei denen die Entstehung von Turbulenz durch das wiederholte Bersten einer laminaren Ablöseblase eingeleitet wird. Mit der Methode der angepassten asymptotischen Entwicklungen kann die anfängliche Phase dieses Übergangs in einzelne, zeitlich aufeinanderfolgende Stadien aufgeteilt werden. Jedes dieser Stadien kann als ein singuläres Störproblem, mit der Reynolds-Zahl, Re ≫ 1, als primären Störparameter, formuliert werden. Im ersten Stadium (i) führt ein positiver, aufgeprägter Druckgradient der reibungsfreien Außenströmung zur lokalen Grenzschichtablösung, und damit zum Zusammenbruch der klassischen Grenzschichttheorie. Die asymptotische Theorie marginaler Ablösung ermöglicht mit der sogenannte triple-deck-Struktur eine Wechselwirkung zwischen Verdrängungseffekten aus dem viskosen Unterdeck und den dadurch induzierten Druckänderungen im reibungsfreien Oberdeck, und kann damit eine marginal abgelöste Strömung (mit lokaler Rückströmung) im zweiten Stadium (ii) beschreiben. Bei bestimmten Strömungsverhältnissen bricht die triple-deck-Struktur wegen dem Auftreten einer Singularität nach endlicher Zeit (finite-time blow-up) zusammen, und ein Gleichgewicht zwischen Trägheits-, Druck- und Reibungskräften führt im darauf folgenden spike formation Stadium (iii) auf natürliche Weise zu einer zweiten triple-deck-Struktur mit kleineren relevanten Orts- und Zeitskalen. Trotz der kleineren relevanten Skalen ist der Verdrängungseffekt des spike formation Stadiums größer als im vorherigen Stadium und der induzierte Druckgradient der Wechselwirkungstheorie ist von derselben Größenordnung wie der ursprünglich aufgeprägte Druckgradient. Die anfänglich flache Ablöseblase wächst in diesem Stadium, bis eine große Spitze am hinteren Ende der Ablöseblase die gesamte Höhe des reibungsbehafteten Unterdecks erreicht. Diese schnell wachsende Spitze wird in experimentellen Untersuchungen und direkten numerischen Simulationen unmittelbar vor dem Bersten der Ablöseblase beobachtet, und führt durch das erneute Auftreten einer Singularität zum Zusammenbruch des spike formation Stadiums (iii). Das Aufrollen des Ablösewirbels wird im nachfolgenden Euler-Prandtl Stadium (iv), indem kein Wechselwirkungsmechanismus aktiv ist, beschrieben. Die Gleitgeschwindigkeit und der Druckgradient an der Wand werden in einer hierarchischen Struktur aus der reibungsfreien Euler-Region bestimmt, und auf die Prandtl-Schicht aufgeprägt. Diese Arbeit präsentiert einen numerischen Lösungsansatz für die Cauchy-Probleme des spike formation Stadiums (iii) und des reibungsfreien Euler Stadiums (iv). Für eine asymptotisch konsistente Formulierung der Anfangsbedingung werden die höheren Ordnungen im finite-time blow-up des vorherigen Stadiums berechnet und zum Initiieren der Cauchy-Probleme verwendet. Im Allgemeinen ist dazu eine entsprechende Koordinatentransformation notwendig. Die Ergebnisse des reibungsfreien Euler Stadiums (iv) werden in einer Folgearbeit von Ivo Stojanovic verwendet, um die Gleichungen der Prandtl-Schicht zu lösen. Zusätzlich wird der Einfluss der Regularisierung, basierend auf einem asymptotischen composite model, auf das ursprünglich mathematisch schlecht gestellte Problem des spike formation Stadiums, numerisch untersucht.

Laminar boundary layer flows with transitional separation bubbles are studied with the method of matched asymptotic expansions for large Reynolds numbers as the primary perturbation parameter. The early transition phase can be divided into four consecutive stages. Each stage can be formulated as a singular perturbation problem with different relevant spatial and temporal scales. In the initial phase (i), an imposed adverse pressure gradient leads to local flow separation and to the breakdown of the classical boundary layer theory. The formation of a laminar separation bubble is subsequently described by viscous-inviscid interactionin the marginal separation stage (ii). For specific flow configurations, a finite-timesingularity leads to the breakdown of the corresponding model equations and initiates a second interactive triple deck with shorter spatio-temporal scales in the so-called spike formation stage (iii). This stage describes the formation of a spike at the rear of the separation bubble, which, as is known from experimental observations, sets in prior to vortex shedding. The subsequent vortex-shedding process is governed by the consecutive Euler-Prandtl stage (iv). This stage is non-interactive, and the slip velocity or alternatively the pressure gradient at the solid wall, which are imposed on the Prandtl layer, are solely governed by the evolution equations of the Euler region. This work presents a numerical approach to solve the Cauchy problems associated with the triple deck stage (iii) and the inviscid part of the Euler-Prandtl stage (iv). The main emphasis lies in an asymptotically consistent formulation of the required initial condition. Additionally, a regularization based on an asymptotic composite model is analyzed numerically for the otherwise ill-posed Cauchy problem of the triple deck stage.