Viertl, N. (2005). Viscous regularisation of weak laminar hydraulic jumps and bores in two layer shallow water flows [Dissertation, Technische Universität Wien]. reposiTUm. http://hdl.handle.net/20.500.12708/177773
The weakly nonlinear version of the two layer shallow-water equations is a scalar hyperbolic PDE. For certain situations its flux-function is non-convex. Therefore, the physical relevant shocks (weak solutions) have to be classified by studying their internal structure. To this end we incorporate effects which are negligible everywhere except close to shocks, namely streamline curvature and viscosity. This is done by an asymptotic approach, consistent with the Navier-Stokes equations. Matched asymptotic expansions and the concept of a distinguished limit lead us to a triple deck problem, with a novel nonlinear interaction equation in form of a forced extended Korteweg-de Vries equation. The forcing term is proportional to the local correction of the displacement effect induced by the lower- and main-deck. After the derivation of the equations governing the full triple deck problem, we find simplified limiting situations, where either viscosity is a higher-order effect, or is weak. In the later case this results in a term in form of a fractional derivative. In the case of vanishing viscosity at the leading order we recover for certain parameters well known analytical solutions which are now known to correspond to non-classical shocks. Representative numerical solutions to the full triple deck problem are given, which correspond to classical as well as non-classical shocks. Interestingly, we observe that the behaviour of solutions is qualitatively similar to solutions of the extended KdV-Burgers equation, which has been used as a model euqation for two layer flows. However, a difference appears in the possible nonmonotonicity of solutions corresponding to non-classical shocks. A particular interesting solution is found, with a pronounced and almost vanishing minimum in the wall shear. This, at least from the numerical point of view singular solution, is reminiscent of the case of "marginal separation". In contrast to marginal separation, a classical boundary layer phenomenon, here the singular solution is part of a triple deck problem, thus viscous inviscid interaction is already taken into account.
Der schwach nichtlineare Grenzfall der Flachwassergleichungen für zwei Schichten, wird durch eine skalare hyperbolische partielle Differentialgleichung beschrieben. Für bestimmte Parameterbereiche ist deren Fluss-Funktion nicht konvex, und die physikalisch relevanten Stoßlösungen (schwachen Lösungen) müssen durch Untersuchung ihrer inneren Struktur charakterisiert werden. Zu diesem Zweck berücksichtigen wir physikalische Effekte, die im gesamten Strömungsfeld mit Ausnahme in der unmittelbaren Nähe von Stößen, vernachlässigbar sind. Diese sind die Stromlinienkrümmung und die Reibung. Wir wählen einen asymptotischen Zugang, auf Basis der Navier-Stokes Gleichungen. Das Prinzip der angepassten asymptotischen Entwicklungen und das Konzept einer signifikanten Degeneration führt auf ein "Triple deck" Problem, mit einer neuen Wechselwirkungsgleichung von der Form einer inhomogenen modifizierten Korteweg-de Vries Gleichung. Die Inhomogenität ist proportional zur lokalen Korrektur der Verdrängungsdicke, erzeugt durch die viskose Unterschicht. Nach der Herleitung der Gleichungen die dieses "Triple deck" Problem beschreiben, werden Grenzfälle untersucht, in denen der Einfluss der Viskosität ganz vernachlässigbar oder schwach ist. Der Fall eines schwachen Einflusses der Viskosität führt zu einem Term in Form einer gebrochenen Ableitung anstelle der Inhomogenität in der modifizierten KdV-Gleichung. Im Fall vernachlässigbarer Viskosität finden wir wohlbekannte analytische Lösungen, die jetzt als nichtklassische Stöße erkannt werden. Representative numerische Ergebnisse für das "Triple deck" Problem zeigen die Existenz von Lösungen die sowohl klassischen als auch nichtklassischen Stößen entsprechen, und geben weitgehend qualitative Übereinstimmung mit Lösungen der modifizierten KdV-Burgers Gleichung, eine Modellgleichung für zweischichtige Flachwasserströmungen. Ein wesentlicher Unterschied besteht im möglichen nicht-monotonen Verhalten der nichtklassischen Lösungen. Für bestimmte Parameter ensteht eine Lösung, in der die Wandschubspannung ein scharfes Minimum ausbildet, und stark an das Phänomen der "Marginalen Ablösung" erinnert, also eine singuläre Lösung darstellt. Doch im Gegensatz zur Theorie der "Marginalen Ablösung", die ein klassisches Grenzschicht-Phänomen ist, handelt es sich hier um ein "Triple deck" Problem, in dem eine Wechselwirkung zwischen dem reibungsfreien Teil der Strömung und der viskosen Unterschicht bereits berücksichtigt ist.