Groups, frames, and quantum spins

Abstract

Grundlagen der Gruppentheorie und der Darstellungstheorie von Gruppen werden überblicksartig präsentiert. Der aus der Signalanalyse stammende Begriff Frame wird eingeführt, zuerst im Rahmen der Linearen Algebra, dann für den allgemeinen Fall eines Hilbertraums. Speziell untersucht werden Frames, die durch die Wirkung einer unitären Darstellung einer Gruppe auf einen Referenzvektor erzeugt werden. Für eine endlichdimensionale Darstellung einer kompakten Gruppe werden diejenigen Referenzvektoren charakterisiert, welche Frames generieren. Dieses Kriterium wird verwendet, um Symbolkalküle für Operatoren (d.h. Darstellungen von Operatoren durch Funktionen auf der Gruppe bzw. einem homogenen Raum) zu analysieren. Die Resultate werden an Hand des Beispiels von Phasenraumformalismen für Quantenspins veranschaulicht.<br />

The basics of the theory of groups and their representations are reviewed. The concept of a frame, rooted in signal analysis, is introduced, first in the setting of linear algebra, then in general for Hilbert spaces. In particular, frames generated by the action of a unitary representation of a group on some fiducial vector are studied.<br />For a finite-dimensional reducible representation of a compact group, a criterion for a fiducial vector to generate a frame is derived. This criterion is used to analyze symbol calculi for operators, i.e.<br />representations of operators by functions on the group or a homogeneous space. The results are illustrated by an example taken from physics, namely phase space formalisms for quantum spins.