Semiclassical theory of weak localization

Abstract

Schwache Lokalisierung ist ein quantenmechanischer Interferenzeffekt, der in Halbleiterstrukturen mit Störstellen oder in hochreinen Quanten-Billards beobachtet wird: die Leitfähigkeit des Systems ist im Vergleich zur klassischen Vorhersage unterdrückt. Setzt man die Struktur einem normal zur Oberfläche gerichteten Magnetfeld aus, kommt es zur Erhöhung der Leitfähigkeit und damit zur Ausbildung eines charakteristischen Minimums der Leitfähigkeit als Funktion des Magnetfeldes.<br />Wir präsentieren eine semiklassische Theorie der schwachen Lokalisierung in ballistischen 2D Quanten-Billards, die sowohl auf reguläre als auch auf chaotische Systeme anwendbar ist. Die Theorie beinhaltet so genannte Pseudo-Pfade, die aus klassischen Pfaden durch Diffraktion am Eingang und Ausgang der Billard-Zuleitungen entstehen. Dadurch wird eine Verbindung der klassisch disjunkten Mengen der reflektierten und transmittierten Pfade erreicht, was zu einer besser erfüllten Unitarität der semiklassischen Theorie führt. Für ein reguläres System ist es uns gelungen, alle klassischen und Pseudo-Pfade bis zu einer gegebenen Länge aufzusummieren. Wir vergleichen die semiklassischen Ergebnisse für den Widerstand und die Leitfähigkeit mit quantenmechanischen Rechnungen und finden dabei eine gute Übereinstimmung.<br />Für eine detailliertere Analyse vergleichen wir die Fourier-Transformierten der semiklassischen und quantenmechanischen Streumatrizen. Dies erlaubt eine Identifizierung klassischer und Pseudo-Pfade. Für ein reguläres System (das Kreisbillard) zeigen wir, dass das charakteristische Minimum der Leitfähigkeit als Funktion des Magnetfeldes verschwindet, wenn alle nicht-klassischen Pfade entfernt werden.

Weak localization is a quantum interference effect observed in semiconductors with bulk disorder or in clean quantum billiards: the conductance through the system is suppressed compared to the classical prediction at zero magnetic field. Application of a perpendicular magnetic field increases the conductance giving rise to a characteristic dip.<br />We present a semiclassical theory of weak localization in clean 2D quantum billiards applicable to both regular as well as chaotic systems.<br />The theory includes pseudo-paths consisting of classical paths joined by diffractive scatterings ('kinks') at the entrance and exit of the billiard. These pseudo-paths connect the classically disjoint path sets of reflected and transmitted paths and thus improve the unitarity of the semiclassical theory. For regular systems we have succeeded in adding up all classical paths as well as the pseudo-paths up to a given length. We compare the semiclassical resistance and conductance with quantum results and find good agreement.<br />For a more detailed analysis we compare the Fourier transform of the semiclassical and quantum mechanical S-matrix which allows us to identify distinct classical paths and pseudo-paths. We show for a regular system (circular billiard) that the characteristic dip of the conductance as a function of the magnetic field disappears if all non-classical paths are removed.<br />