Topological amplitudes and string effective couplings

Abstract

Diese Arbeit behandelt die Berechnung topologischer Amplituden in unterschiedlichen String Theorien mit höherer Supersymmetrie, sowie einige ihrer Anwendungen in verschiedenen Gebieten der theoretischen Physik.<br />Die Entdeckung, dass bestimmte physikalische Streuamplituden im Gravitationssektor von 4-dimensionalen N=2 Kompaktifizierungen des Typ II Superstrings der Zustandssumme des topologischen Strings (F_g) entsprechen, eröffnete gemeinsam mit der Fixierung der entsprechenden effektiven Wirkungsterme mit Moduli-abhängigen ``Kopplungskonstanten'' F_g zahlreiche interessante Möglichkeiten in verschiedenen Forschungsrichtungen: 1) Die Formulierung der holomorphen Anomaliegleichung, welche die Moduli-Abhängigkeit der F_g erfasst, als Iterationsgleichung erlaubte die Berechung (des nicht-holomorphen Teils) der Amplituden, im Prinzip zu jeglicher Schleifenordnung. 2) Die effektiven Wirkungsterme enthalten unter anderem eine bestimmte Art von R 2 Wechselwirkungen (worin R der Riemann'sche Tensor der 4-dimensionalen Raumzeit ist), welche unter anderem Auswirkungen auf die Entropiekorrekturen supersymmetrischer Schwarzer Löcher in vier Dimensionen haben. 3) Die Berechnung der dualen Amplituden schliesslich in der heterotischen Theorie kompaktifiziert auf K3xT 2 brachte das erstaunliche Resultat dass topologische Amplituden von beliebiger Schleifenordnung in der Typ II Theorie bereits Beiträge am 1-Schleifen Niveau in der heterotischen Theorie erhalten. In dieser Arbeit werden ähnliche Berechnungen für String Theorien mit N=4 Supersymmetrie (also Typ II kompaktifiziert auf K3 x T 2) vorgestellt. Da die topologische Zustandssumme für diese Kompaktifizierung trivial verschwindet schlagen wir ähnlich den bereits bekannten 6-dimensionalen Ergebnissen eine Regularisierung der Zustandssumme durch zusätzliche Operatoreinsetzungen vor. Diese Regularisierung ist jedoch nicht eindeutig, sondern wir finden zwei unterschiedliche Serien physikalischer Amplituden, die zu nicht äquivalenten topologischen Korrelatoren führen. Für beide Möglichkeiten erarbeiten wir die effektiven Kopplungen, von denen eine ähnlich dem N=2 Fall auf Grund der Heterotik--Typ II Dualität zu einem 1-Schleifen Integral in der heterotischen Theorie führt. Wir untersuchen diese Amplitude genauer und leiten Analoga zur holomorphen Anomaliegleichung her, nämlich zwei Differentialgleichungen, welche die Moduli-Abhängigkeit der topologischen Amplituden erfassen. Weiters untersuchen wir den Effekt dieser neuen Kopplungen auf die Entropie Schwarzer Löcher und betrachten vor allem den Fall eines Schwarzen Loches, welches auf dem klassischen Niveau keinen Ereignishorizont und daher verschwindende Entropie aufweist. Schliesslich erwähnen wir kurz die Möglichkeit offene String Amplituden durch eine Weltflächen Z_2 Involution der geschlossenene Resultate zu berechnen.<br />

This thesis deals with the computation of topological amplitudes in different string theories with extended supersymmetry, as well as with some of their applications in different fields of theoretical physics. The discovery of certain physical amplitudes in the gravitational sector of 4-dimensional N=2 compactifications of type II string theory being computed by the partition function of the topological string (F_g), along with the unraveling of the corresponding effective action terms with F_g their moduli dependent ``coupling coefficients'', opened numerous interesting fields of research: 1) The holomorphic anomaly equation, governing the precise moduli dependence of the F_g, could be formulated as an iteration equation and allowed the calculation of the (non-holomorphic part of the) amplitudes, in principle to arbitrary loop order. 2) The effective couplings contained among other terms a special type of R 2 interactions, where R is the Riemann tensor of the 4-dimensional space-time manifold, whose effect was found to be important for entropy corrections of supersymmetric 4-dimensional black holes. 3) Finally, the calculation of the dual amplitudes in the heterotic theory compactified on K3xT 2 brought the surprising result that the topological amplitudes at any arbitrary loop order in the type II theory start receiving contributions already at the 1-loop order in the heterotic theory.<br />In this work, we venture to repeat the same calculations for string theories with N=4 supersymmetry (i.e. type II compactified on K3xT 2).<br />Since the topological partition function vanishes trivially for this compactification we propose to regularize this vanishing with the help of additional operator insertions, following the already known results in 6 dimensions. We find that this regularization is not unique but instead we encounter two different series of physical amplitudes leading to inequivalent topological correlation functions. For both possibilities we manage to establish the effective action couplings and it turns out that upon heterotic-type II duality one of them is again mapped to a 1-loop computation on the heterotic side, similar to the N=2 case. We carefully study this expression and derive the analog of the holomorphic anomaly equation, namely two differential equations, capturing the moduli dependence of the topological amplitudes. Moreover, we also study the effect of these couplings on the entropy of black holes and especially study a type of black hole which at the classical level has vanishing event horizon and therefore also zero entropy. Finally, we also briefly mention the possibility to compute open-string topological amplitudes based on the closed string results by taking a Z_2 world-sheet involution.