Undular hydraulic jumps in plane and axisymmetric free-surface flows

Abstract

Eine stationäre, turbulente Strömung mit freier Oberfläche bei großen Reynolds-Zahlen und Froude-Zahlen nahe dem kritischen Wert 1 wird betrachtet. Die spezielle Koppelung der beiden Grenzübergänge erlaubt eine Analyse frei von Turbulenzmodellierung. Im ersten Teil der Dissertation werden wellige Wassersprünge in offener Kanalströmung über horizontalem Boden mittels der Methode der mehrfachen Variablen, angewendet auf die Reynolds-Gleichungen, untersucht. Die Lösung beschreibt die Störung erster Ordnung der freien Oberfläche. Der Vergleich der freien Oberflächenstörung mit der Lösung einer erweiterten stationären Version der Korteweg-de Vries (KdV)-Gleichung bestätigt deren gleichmäßige Gültigkeit. Außerdem wird der Grenzübergang verschwindender Bodenneigung bei fixierter Froude- und Reynolds-Zahl betrachtet. Die resultierende erweiterte KdV-Gleichung wird als Anfangswert- sowie als Zweipunkt-Randwertproblem gelöst. Letzteres entspricht dem Übergang zu voll-ausgebildeter Strömung weit stromab. Der Vergleich mit Experimenten zeigt passable Übereinstimmung. Im zweiten Teil werden wellige Wassersprünge in turbulenter achsensymmetrischer Strömung mit freier Oberfläche über horizontalem Boden untersucht. Die Oberflächenauslenkung wird durch eine neue Version der erweiterten KdV-Gleichung beschrieben, welche unter der Voraussetzung großer Sprungradien als gleichmäßig gültige Differenzialgleichung hergeleitet wurde. Die Gleichung gilt sowohl für Quell- als auch für Senkenströmung. In beiden Fällen liefert die numerische Lösung der Gleichung als Anfangswertproblem wellige Sprünge. Weit stromab des Sprunges führt jedoch Reibung zum Absturz der Lösung. Die Betrachtung reibungsfreier Quellströmung zeigt, dass wellige Wassersprünge bei großen Radien existieren und erneut durch eine erweiterte KdV-Gleichung beschrieben werden. Verglichen zu turbulenter Strömung ist die Gültigkeit der Lösungen auf einen kleinen Bereich nahe dem Beginn des Sprunges begrenzt. Wellige Wassersprünge in reibungsfreier Senkenströmung sind nicht möglich.

Steady turbulent free-surface flow in the limit of very large Reynolds numbers and Froude numbers close to the critical value 1 is considered. A specific coupling of the two limiting processes assures an analysis free of turbulence modelling. In part one of the thesis, undular hydraulic jumps in open-channel flow with a horizontal bottom are investigated employing a multiple-scales analysis of the Reynolds equations. The multiple-scales solution describing the first-order perturbation of the free-surface elevation is compared with the numerical solution of an extended steady-state version of the Korteweg-de Vries (KdV) equation, confirming the uniform validity of this non-linear third-order ODE. Furthermore, the limiting process of a vanishing bottom slope is analysed by keeping the Froude and Reynolds numbers fixed. The resulting extended KdV equation is solved as both initial value and two-point boundary-value problem, the latter representing the transition to fully developed flow far downstream. Comparing the theory with experimental data shows reasonable agreement. In part two, undular hydraulic jumps in turbulent axisymmetric free-surface flow over a horizontal bottom are studied. Provided the jump's origin is located at very large radii, the free surface is described by a new version of an extended KdV equation, derived as a uniformly valid differential equation. The same equation is valid for both turbulent source and sink flow. In both cases, undular solutions of the extended KdV equation are obtained from numerically solving the equation as an initial value problem. However, far downstream of the jump, friction enforces a breakdown of the solutions. By considering inviscid axisymmetric source flow, undular jumps are shown to be possible at large radii, and the surface is described by another version of an extended KdV equation. Compared to turbulent flow, the solution's validity is limited to moderate distances from the origin of the jump. Undular hydraulic jumps in inviscid sink flow are not possible.