Simulation and topology of two-dimensional noncommutative U(1) gauge theory

Abstract

Nichtkommutative Geometrie führt zu einer Mischung zwischen ultravioletten und infraroten Freiheitsgraden, dem sogenannten UV/IR-Mixing.<br />Gitterrechnungen können dazu verwendet werden um diese Quantenfeldtheorien nichtstörungstheoretisch zu analysieren, wodurch die Berechnung neuer Observablen möglich wird, welche zu einem tieferen Verständnis der bekannten Theorien beitragen können. In dieser Arbeit betrachten wir eine nichtkommutative U(1)-Eichtheorie auf einem zweidimensionalen Torus. Der Vorteil dieser Theorie ist, dass ein zu ihr äquivalentes Matrixmodell existiert. Wir haben ein Programmpacket entwickelt, mit dem wir Wilson-Schleifen für verschiedene Gitterausdehnungen berechnet haben und anschließend diese Ergebnisse mit der Literatur verglichen. Ziel dieser Arbeit war es, neue Observablen zu berechnen und damit die nichtkommutative zweidimensionale U(1)-Eichtheorie zu untersuchen. Wir entwickelten ein Interesse für die topologische Struktur dieser Theorie, ob sie durch die Nichtkommutativität topologisch nichttrivial wird. Um dieses Phänomen zu untersuchen, verwendeten wir Quanten-Monte-Carlo Simulationen und berechneten die topologischen Ladungen für verschiedene Matrixdimensionen und Kopplungskonstanten. Weiters konstruierten wir klassische Feldkonfigurationen mit topologischer Ladung und beobachteten ihr Verhalten in Quanten-Monte-Carlo Simulationen. Es stellte sich heraus, dass die Werte der topologischen Ladung während eine Monte-Carlo-Historie abnehmen. Die Resultate zeigten generell, dass Konfigurationen mit großer topologischer Ladung unterdrückt werden. Dieses Verhalten ähnelt der Situation in der Gitter-QCD, wo Quantenfeldkonfigurationen topologisch trivial sind und erst durch eine Kühlungsprozedur die Instantonzahl der Eichfelder sichtbar wird.<br />

In noncommutative geometry a mixing between ultraviolet and infrared degrees of freedom takes place and lattice simulations can be used to compute interesting observables of such quantum field theories in a nonperturbative way. We have studied noncommutative U(1) gauge theory on a two-dimensional torus. The advantage of this theory is that there exists an equivalent matrix model which makes numerical calculations feasible. We developed a program package and computed Wilson loops for different lattice sizes comparing with the literature. Our goal was to find new observables and to study the effects of non-commutativity in a U(1) gauge theory. We became interested in the topological structure of this theory and if non-commutativity has effects on the topological charges.<br />We performed quantum Monte Carlo simulations and calculated the topological charge for different matrix sizes and several values of the coupling constant. We constructed classical gauge field configurations with large topological charge and used them to initialize quantum simulations. It turned out that the value of the topological charge is decreasing during a Monte Carlo history. Our results show that the topological charge is in general supressed. The situation is similar to lattice QCD where quantum gauge field configurations are topologically trivial and one needs to apply some cooling procedure on the gauge fields to unhide the integer number of the instantons.<br />