Aspects of Stochastic Integration beyond Standard Assumptions

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Theorie stochastischer Integration und versucht einige Resultate über übliche Annahmen hinaus zu verallgemeinern.Ein entscheidender Schritt der Definition eines stochastischen Integrals ist es, dieses für Martingale zu definieren. Folgt man dem funktional-analytischen Zugang von Philip E. Protter, dann ist eine Ungleichung von Burkholder die entscheidende Zutat. Diese Arbeit verallgemeinert diese Ungleichung für stochastische Prozesse mit Werten in bestimmten Banachräumen, speziell wenn der Integrand Werte in solchen Banachräumen annimmt und der Integrator reellwertig sind. Für einen solchen Banachraum können wir ein stochastisches Integral für alle cáglád Prozesse mit Werten in diesem Banachraum definieren, wenn als Integrator ein reellwertiges Semimartingal verwendet wird. Ein weiterer großer Teil dieser Arbeit fokussiert sich auf das Bichteler-Dellacherie Theorem, das eine Charakterisierung jener stochastischen Prozesse im reellen Fall liefert, die als Integrator verwendet werden können. Es besagt, dass ein stochastisches Integral genau für cádlág Semimartingale definiert werden kann und, dass sich diese als Summe eines lokalen Martingals und eines Prozesses mit endlicher Variation schreiben lassen. Dieses Resultat verallgemeinern wir, indem wir die cádlág Annahme der Pfade fallen lassen, die analogen Voraussetzungen verwenden und den Prozess auf dem Level von Versionen noch immer als Summe eines lokalen Martingals und eines Prozesses mit endlicher Variation schreiben können. Genauer finden wir ein lokales Martingal mit cádlág Pfaden und einen Prozess von endlicher Variation, sodass für jeden Zeitpunkt der ursprüngliche Prozess fast sicher als Summe der beiden Prozesse geschrieben werden kann.Die gleichen Ideen können auf die Doob-Meyer Zerlegung angewandt werden, wodurch wir diese ebenso auf Supermartingale ohne stetige Pfade erweitern können.

This thesis deals with the theory of stochastic integration and tries to generalize some results beyond standard assumptions.One crucial part of defining a stochastic integral is the step to define it for martingales. If one follows a functional analytic approach introduced by Philip E. Protter, an inequality due to Burkholder is the necessary ingredient. This thesis generalizes this inequality to a setting in which stochastic processes with values in certain Banach spaces are considered, in particular when the integrand is Banach space-valued and the integrator real-valued. For such a Banach space we can define a stochastic integral of all cáglád processes with values in that Banach space against a real-valued semimartingale.Another major part of this thesis focuses on the Bichteler-Dellacherie theorem which is the characterization of stochastic processes which can be taken as integrator in the real-valued case. It tells that a stochastic integral can be defined precisely for cádlág semimartingales and that those decompose into a local martingale and a finite variation process. We can extend this result by dropping the cádlág assumption on the paths, using the analogue assumptions of the theorem and still decomposing the process on a level of versions. In particular we can find a cádlág local martingale and a finite variation process such that for each time point the original process is the sum of those two, almost surely.The same ideas can be applied to the Doob-Meyer decomposition and we can again generalize this to supermartingales without continuity assumptions on its paths.