Über das Ausfüllen von Bereichen mit Kugeln

Abstract

Die Arbeit umfasst den Themenkreis des Problems von Kugelpackungen und im gesondertem dem der dichtesten Kugelpackungen unter Verwendung kongruenter Kugeln. Dabei wird speziell auf die Unterschiede zwischen finiten und infiniten Kugelpackungen bzw. den jeweiligen Kugelgitterpackungen eingegangen. Zu Beginn werden die Grundlegenden Begriffe wie Kugelvolumen, Dichte und ähnliches erläutert und danach die Probleme im Einzelnen in den verschiedenen Dimensionen betrachtet. Es werden die Hauptpackungsformen Wurst und Cluster vorgestellt und diverse Vergleiche zwischen den beiden Packungstypen gemacht.<br />Des Weiteren wird in der Arbeit auf historische Kugelprobleme eingegangen. Auf der einen Seite steht die Kepler-Vermutung, eines der großen Hilbert´schen Probleme der Mathematik, die besagt, dass eine tetraedrische Stapelung von Kugeln die best mögliche Packung darstellt, welche aber bis vor kurzem nicht bewiesen werden konnte. Andererseits wird das Newton-Gregory- oder Kusszahlen-Problem betrachtet, welches einem historischen Streit zwischen Newton und Gregory folgt, welcher darüber handelte ob man an einer einzelnen Kugel 12 oder 13 kongruente Kugeln durchdringungsfrei anlagern kann (die sogenannte Kusszahl).<br />Ebenso wird auf die Kugelpackungs-Phänomene "Wurstkatastrophe" (im euklidischen 3- und 4-Raum springt die dichteste Packungsanorndung für eine bestimmte Anzahl von Kugeln plötzlich von Wurst auf Cluster um) und "Wurstvermutung" (ab dem 5-Ruam sein wurstförmige Anordnungen stets dichter als clusterförmige) eingegangen und gegen Ende die übergeordnete Theorie der Dichtefunktion dargebracht, die den Brückenschlag zwischen Wurstkatastrophe und Wurstvermutung darstellt und die Packungstypen dimensionsunabhängig betrachten lässt.<br />Ebenso wird die für die Verpackungsindustrie anwendbare Fragestellung der Containerpackungen erläutert, wobei man hier schnell an die Grenzen des machbaren stößt, bei wachsender Raumdimension liegen nur Einzelergebnisse vor.