A constitutive law for softening and densification of trabecular bone in compression

Abstract

Knochen ist eine Material mit hoher Steifigkeit welches im Körper Kräfte weiterlietet sowie Stütz- und Schutzfunktionen der Hauptorgane übernimmt. Darüber hinaus ist Knochen ein dynamisches Material, welches ständigem Umbau unterliegt. Dieser Knochenumbau benötigt eine konstante Knochenmasse. So muss die Aufbaugeschwindigkeit gleich der Abbaugeschwindigkeit sein. Das Ungleichgewicht dieser Geschwindigkeiten ist die Quelle der Osteoporose, welche die Forschung auf dem Gebiet der Knochenmechanik treibt.<br />Es existieren zwei Arten Knochen: kompakter und trabekulärer Knochen. Kompakter Knochen ist dicht und bildet die Knochenoberfläche. Trabekulärer Knochen findet sich eher in den Epiphysen der langen Röhrenknochen und in kurzen Knochen, zum Beispiel den Wirbelkörpern. Die mechanischen Eigenschaften von trabekulärem Knochen hängen wesentlich von seiner Struktur ab, welche wiederum vom anatomischen Ort, vom Alter und dem Individuum an sich abhängt. Deswegen wurden Architekturparameter welche die Struktur beschreiben entwickelt und in Zusammenhänge zwischen Morphologie und mechanischen Eigenschaften eingearbeitet. Diese Zusammenhänge, Dichte und fabric-basierender Nachgiebigkeitstensor und fabric-basierendes Fliesskriterium, sind integriert in eine speziell für trabekulären Knochen entwickelte konstitutive Beschreibung.<br />Dreidimensionale Computer-Tomographie-Datensätze können in Finite Element Modelle umgewandelt werden, welche es ermöglichen, mechanische Eigenschaften des Knochens, Steifigkeit und Festigkeit, zu untersuchen. Diese Modelle benötigen einen mathematischen Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen.<br />Die vorliegende Arbeit besteht aus der Entwicklung eines konstitutiven Gesetzes, das die Haupteigenschaften der Spannungs-Dehnungs-Kurve von trabekulärem Knochen in Kompression mit grossen Dehnungen beschreibt. Trabekulärer Knochen zeigt in diesem Lastzustand Entfestigung, eine Reduktion der Kraft nach Erreichen der Maximalkraft, und Verfestingung, eine Zunahme der Kraft bei hohen Dehnungen. Diese Entfestigungs-Verfestiungs-Charakteristik generiert ein Nicht-Null-Minimum. Nach diesem Minimumpunkt besteht die folgende Verfestigung aus einem quasi-linearem Spannungsanstieg mit steigender Dehnung bis zu einem scharfen Anstieg bei sehr hohen Dehnungen. In diesen beiden Phasen kommt es zu einem progressiven Porenkollaps und Porenschluss. Des Weiteren akkumuliert trabekulärer Knochen irreversieble Dehnungen und verliert Steifigkeit nach überschreiten der Fließgrenze. Unter Berücksichtigung dieser Eigeschaften wurde ein elasto-plastisches Modell, welches Schädigung berücksichtigt, entwickelt.<br />Dies geschah im Rahmen eines generalisierten Materials, um thermodynamische Konsistenz zu gewährleisten. Das Modell wurde in eine Finite-Elemente-Software integriert. Ferner wurde das Modell durch eine nonlokale Mittelungstechnik erweitert, um Netzunabhängigkeit zu gewährleisten. Schlussendlich hängt das Modell vom Volumenanteil des Knochens und der Fabric ab, um Knochendichte und Anisotropie beschreiben zu können.<br />Um Daten zur Parameteridentifizierung für das vorgeschlagene konstitutive Gesetz bereit zu stellen, wurden mechanische Experimente unter grossen Dehnungen an humanem, trabekulärem Knochen durchgeführt.<br />Kurvenparameter wurden unter Nutzung von Regressionsmodellen welche morphologische Parameter berüsichtigen definiert, berechnet und analysiert.<br />Schlussendlich wurden die Parameter des konstitutiven Gesetzes von den Resultaten der mechanischen Tests unter Nutzung einer neuen Prozedur identifiziert. Zunächst wurden die Parameter unter angenommener Homogenität bestimmt, um dann mit heterogenen voxel-basierenden Finite Elemente Modellen von fünf ausgewählten Proben die nonlokale Formulierung zu fixieren. Schliesslich wurde das konstitutive Gesetz auf Modelle von Wirbelkörpern angewendet, um Anwendungsmöglichkeiten aufzuzeigen. Der Vergleich der Resultate gewährt Einblick in den Effekt der Berücksichtigung der Entfestigung im konstitutiven Gesetz. Die Akkumulation inelastischer Prozesse ist im Gegensatz zu Modellen ohne Entfestigung, welche mehrere Akkumulationsschichten aufweisen, auf eine einzige Schicht konzentriert.<br />Die vorliegende Studie schlägt ein neues konstitutives Gesetz zur Beschreibung des mechanischen Verhaltens trabekulären Knochens unter grossen Dehnungen vor. Ferner wurden mechanische Tests durchgeführt um die Parameter des Gesetzes zu identifizieren. Das Potential der Formulierung wurde in Kontinuum Finitite Elemente Modellen gezeigt. Zuküftige Arbeiten beschäftigen sich mit der Automatisierung der Anwendung, um die numerischen Methoden in grossen Studien anwenden zu können.<br />

Within the body, bone is a material with high stiffness and low resilience, which provides load bearing and support to the body and protects major organs. Moreover, bone is a dynamic material that constantly renews itself through remodelling process. This remodelling demands, for a constant bone mass, the rate of formation to be equal to the rate of resorption. The unbalance of these rates is the source of a major disease called osteoporosis. This disease drives bone research.<br />There are two types of bone: compact and trabecular bone. While compact bone is dense and composes the surface of the bones, trabecular bone is an open-cell like porous structure found mainly in the epiphysis of long bones and within the short bone, e.g. vertebrae. The mechanical properties of trabecular bone depend largely on its structure, which present considerable variation between anatomical site, age, and individuals. Therefore, architectural parameters describing the structure of trabecular bone have been developed and incorporated into relationships between morphology and mechanical properties. These relationships, namely density and fabric-based compliance tensor and yield criterion are integrated into constitutive law developed specifically to trabecular bone.<br />Three-dimensional images provided by computed tomography can be converted into finite element models, which in turn provide the possibility of evaluating bone properties, e.g. stiffness and strength.<br />These models require a mathematical relationship between the stress and the strain, i.e. the constitutive law, that captures the main features of the mechanical response of bone.<br />The current work consisted in developing a constitutive law that captures the main features of the stress-strain curve of trabecular bone in large compression test. In this loading condition, trabecular bone presents softening, consisting of a reduction of force passed the ultimate point, and rehardening, consisting of an increase of force at higher strains. These softening-rehardening characteristic creates a non-zero minimum point. Following the minimum point, rehardening consists of a quasi-linear stress increase with strain up until a fast increase at very large strain. These two phases are associated to a progressive pore collapse and to pore closure, respectively. In addition, passed its yield point, trabecular bone accumulates irreversible strains and loses stiffness. Accounting for these features, an elastoplastic model coupled with damage was developed under the framework of standard generalized material, to ensure its thermodynamic consistency. The model was implemented into a finite element software and to prevent the mesh-dependency of the solution, the model was enhanced with an integral-type nonlocal averaging technique. Finally, the parameters of the model depend on the bone volume fraction and fabric tensor, describing respectively bone density and anisotropy.<br />In order to provide data for the parameter identification of the proposed constitutive law, mechanical experiments reaching large strain compression were performed on human trabecular bone originating from several anatomical site using confined and unconfined setups. Curve parameters were defined, computed and analyzed using regression models developed to include morphological parameters. The complete results and analysis are presented.<br />Finally, the parameters of the constitutive law were identified from the mechanical test results using a novel procedure composed of two steps.<br />First, the parameters were identified using an assumption of homogeneity and, second, heterogeneous models, corresponding of voxel-based continuum FE model, created from five chosen specimen were used to adjust the parameters using the nonlocal formulation. Finally, the constitutive law was applied to voxel-based model of vertebral bodies in order to show example of applications. Comparing the results provided strong insight on the effect of considering softening in the constitutive law. Briefly, the accumulation of the inelastic process are concentrated in a single layer within the vertebral body, as opposed to models without softening that can predicts several of these layers.<br />In conclusion, the current study proposes a novel constitutive law to describe trabecular bone's mechanical behaviour in large compressive strain and mechanical testing was made to identify the parameters of the law. Finally, using the law into a continuum FE model showed the potential of the law. Future work is oriented towards providing an automated procedure to apply this numerical method to large study.