Complete recursive axiomatizability of Gödel logics

Abstract

This thesis characterizes the recursive axiomatizability of Goedel logics. Goedel logics are a natural collection of any-valued logics, whose truth-value set is a subset of [0,1]. They occur in many contexts in logic and computer science, e.g. as extensions of intuitionistic logic, as fundamental fuzzy logics and in connection with temporal logics, which are important for the automated verification of programs. Using methods and concepts from descriptive set theory and topology, such as Cantor-Bendixon derivatives, a classification of the axiomatizability of propositional Goedel logics, quantified propositional Goedel logics, first-order Goedel logics and their entailment relations is given. Central result is the general completeness theorem for uncountable Goedel logics with uncountable neighbourhood of 0, or isolated 0.

Diese Dissertation beinhaltet eine vollstaendige Charakterisierung der rekursiv axiomatisierbaren Goedellogiken. Diese Logiken sind eine natuerliche Klasse von mehrwertigen Logiken mit Wahrheitswerten aus [0,1], die in vielen logischen und informatischen Zusammenhaengen auftreten, z.B. als unmittelbare Erweiterungen der intuitionistischen Logik, als eine der grundlegenden Fuzzylogiken, sowie im Zusammenhang mit temporallogischen Fragestellungen, die auch für die automatische Verifikation von Programmen von Bedeutung sind. Vollstaendigkeit heisst, dass sowohl die Existenz als auch die Nichtexistenz einer rekursiven Axiomatisierung für alle propositionalen Goedellogiken und Goedellogiken erster Ordnung beschrieben wird. Hierzu werden die topologischen Eigenschaften der zugrunde liegenden Wahrheitwertmengen untersucht und unter Zuhilfenahme von Konzepten der deskriptiven Mengenlehre sowie der Cantor-Bendixon Ableitung charakterisiert. Das zentrale Ergebnis liegt im allgemeinen Vollstaendigkeitssatz fuer ueberabzaehlbare Goedellogiken mit ueberabzaehlbarer 0-Umgebung, bzw. mit isolierter 0. Weiters wird die Kompaktheit der Folgerungsrelation von propositionalen Goedellogiken und Goedellogiken erster Ordnung charakterisiert.