On the existence of p-points and other ultrafilters in the Stone-Čech-compactification of N

Abstract

We consider different kinds of ultrafilters on the natural numbers N, in particular p-points. A p-point is an ultrafilter on N such that for each countable collection of filter sets there is a filter set which is almost contained in every set from this collection (a so-called pseudo-intersection of the collection). The set of all ultrafilters on N (equipped with a natural topology) is a compact space containing N as a dense subset (the so-called Stone-Cech-compactification of N). That's why p-points are called "points" because they can be viewed as a special type of points in this compact space. The existence of p-points is neither provable nor refutable from the axiom system ZFC. On the one hand, the continuum hypothesis (i.e., the size of the continuum equals aleph 1) as well as Martin's Axiom (a combinatorial principle which is consistent with arbitrarily large continuum) implies the existence of p-points. On the other hand, there is a model of ZFC without p-points:<br />we construct such a model by the standard technique of a countable support iteration of proper forcings, essentially following Shelah's proof of the theorem; to show that the forcings involved are proper we use a characterization of unbounded p-filters via infinite games (due to Laflamme). In the resulting model the size of the continuum is aleph 2.<br />It seems to be unknown if it is possible to construct a model of ZFC with no p-points and larger continuum (e.g., aleph 3).<br />

Wir betrachten verschiedene Arten von Ultrafiltern auf den natürlichen Zahlen N, insbesondere p-Points. Ein p-Point ist ein Ultrafilter auf N mit der Eigenschaft, daß es für jede abzählbare Familie von Filtermengen eine Filtermenge gibt, welche in jeder Menge dieser Familie fast enthalten ist (ein sogenannter Pseudo-Durchschnitt der Familie). Die Menge aller Ultrafilter auf N (versehen mit einer natürlichen Topologie) ist ein kompakter Raum, der N als dichte Teilmenge enthält (die sogenannte Stone-Cech-Kompaktifizierung von N). Das ist der Grund, warum p-Points "points" genannt werden: sie können als ein spezieller Typ von Punkten in diesem kompakten Raum angesehen werden. Unter alleiniger Verwendung des Axiomensystems ZFC ist die Existenz von p-Points weder beweisbar noch widerlegbar. Einerseits impliziert sowohl die Kontinuumshypothese (d.h. die Größe des Kontinuums ist aleph 1) als auch Martins Axiom (ein kombinatorisches Prinzip, welches mit beliebig großem Kontinuum konsistent ist) die Existenz von p-Points. Andererseits gibt es ein Modell von ZFC ohne p-Points: wir konstruieren ein solches Modell mittels der Standardmethode einer CS-Iteration ("countable support") von "proper" Forcings, wobei wir im wesentlichen Shelahs Beweis des Satzes folgen; um zu zeigen, daß die verwendeten Forcings proper sind, benützen wir Laflammes Charakterisierung von unbeschränkten p-Filtern durch unendliche Spiele. Im erhaltenen Modell ist die Größe des Kontinuums aleph 2. Es scheint unbekannt zu sein, ob es möglich ist, ein Modell von ZFC ohne p-Points mit größerem Kontinuum (z.B. aleph 3) zu konstruieren.