The construction of an integrand and improved recursions for risk aggregation

Abstract

Diese Dissertation behandelt Probleme aus zwei Gebieten der Finanz- und Versicherungsmathematik.<br />Im ersten Teil der Dissertation wird ein Problem der Finanzmathematik, nämlich die Konstruktion einer Handelsstrategie für einen Wertpapierpreisprozess von der Form einer Brownschen Bewegung mit konstanter Drift, behandelt, mit dem Ziel, dass der Prozess des Wertes der Position eine Brownsche Bewegung in der eigenen Filtration ist.<br />Mathematisch ausgedrückt entspricht eine Handelsstrategie einem vorhersehbaren Integranden. Wir wollen also einen Integranden konstruieren, für den das gebildete stochastische Integral eine Brownsche Bewegung (ohne Drift) in der eigenen Filtration ist. Die Frage, ob dies überhaupt möglich ist, wurde von Marc Yor gestellt. Es konnte aber bisher keine zufriedenstellende Antwort gegeben werden. Im ersten Kapitel beantworten wir diese Frage zu einem gewissen Grad positiv. Während die ursprüngliche Aufgabe, die Konstruktion für eine konstante Drift war, konnten wir einen Integranden für einen nicht-trivialen Driftprozess finden. Diese Konstruktion kann insoweit verfeinert werden, sodass der Drift-Prozess fast sicher der konstanten Drift zu jedem Zeitpunkt beliebig nahe bleibt. Die entsprechende Konstruktion in diskreter Zeit ist durch fachliche Diskussionen mit Michel Émery motiviert. In diesem Fall gelingt der Beweis der vollen Aussage.<br />Im zweiten Teil analysieren wir das kollektive Risikomodell, das ursprünglich aus der Versicherungsmathematik kommt, und betrachten rekursive Methoden zu Berechnung der Gesamtschadensverteilung.<br />Trotz seiner bereits langen Geschichte hat dieses Modell sehr aktuelle Anwendungen im quantitativen Risikomanagement in Banken und anderen Finanzinstitutionen.<br />In eher klassische Versicherungsliteratur aber auch in gegenwärtiger Literatur im Zusammenhang mit CreditRisk+ wird über unverlässliche Ergebnisse, die in manchen Situation durch Rundungsfehler bei numerisch instabilen rekursiven Verfahren entstehen, berichtet. Daher behalten wir diesen Aspekt in den Kapiteln zwei und drei im Auge. In Kapitel zwei beschreiben wir eine Verallgemeinerung der klassischen Panjer Rekursion, die helfen kann, stabile Algorithmen in Situationen zu finden, in denen Stabilität bisher nicht garantiert werden konnte. In Kapitel drei zeigen wir, wie Methoden aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen angewendet werden können, um kurze und effiziente Algorithmen zu erhalten. Zur Überprüfung der numerische Stabilität dieser Algorithmen wenden wir Methoden der asymptotischen Analysis an.<br />

This thesis deals with two problems of financial and actuarial mathematics. The first part of this thesis deals with a problem from mathematical finance, namely the construction of a trading strategy for an asset price process that has the form of a Brownian motion with constant, non-zero drift. The trading strategy should yield that the resulting value process is a Brownian motion in its own filtration.<br />In mathematical terms a trading strategy is a predictable integrand.<br />Thus the aim is to construct an integrand such that the resulting stochastic integral has the desired property. The question whether this is at all possible was first posed by Marc Yor and no satisfying answer has been found so far. In chapter one we answer this question to a certain degree. While the original task is to construct an integrand for a Brownian motion with a constant drift, we manage to find an integrand for a (non-trivial) drift process. This construction can be refined such that the drift process is arbitrarily close to the constant drift at all times almost surely. We get a full and positive answer for the discrete time case, which has motivated during discussions with Michel Émery.<br />In the second part we analyze the collective risk model, which originally comes from insurance mathematics, and consider recursions to calculate the distribution of the aggregate loss.<br />Despite its long history this model has very up-to-date applications in quantitative risk management in banks and other financial institutions. In rather classical insurance literature but also in recent literature concerning CreditRisk+ it is reported that the results of crude recursion approaches can be less useful in situations where the algorithms are not numerically stable. Therefore we always keep this issue in mind in chapter two and three about recursions in the collective risk model. In chapter two we focus on generalizing the classical Panjer recursion in order to derive stable algorithms where the classical recursion can not be guaranteed to be stable.<br />Furthermore in chapter three we show how methods from the theory of ordinary differential equations can be applied to derive short and efficient algorithms. Using methods from asymptotic analysis we show how one can check their numerical stability.